円に内接する四角形ABCDにおいて、AB=2, BC=3, CD=1, DA=2である。対角線ACとBDの交点をEとするとき、BDの長さとBEの長さを求めよ。

1. 問題の内容

円に内接する四角形ABCDにおいて、AB=2, BC=3, CD=1, DA=2である。対角線ACとBDの交点をEとするとき、BDの長さとBEの長さを求めよ。

2. 解き方の手順

(1) BDの長さを求める。

余弦定理を利用してACの長さを2通りで表す。

三角形ABCにおいて、

$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2AB \cdot BC \cdot \cos{\angle ABC} = 2^2 + 3^2 - 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \cos{\angle ABC} = 13 - 12\cos{\angle ABC}$

三角形ADCにおいて、

$AC^2 = AD^2 + CD^2 - 2AD \cdot CD \cdot \cos{\angle ADC} = 2^2 + 1^2 - 2 \cdot 2 \cdot 1 \cdot \cos{\angle ADC} = 5 - 4\cos{\angle ADC}$

四角形ABCDは円に内接するので、$\angle ABC + \angle ADC = 180^\circ$。よって、$\cos{\angle ADC} = \cos{(180^\circ - \angle ABC)} = -\cos{\angle ABC}$

したがって、

$13 - 12\cos{\angle ABC} = 5 + 4\cos{\angle ABC}$

$16\cos{\angle ABC} = 8$

$\cos{\angle ABC} = \frac{1}{2}$

$AC^2 = 13 - 12 \cdot \frac{1}{2} = 7$

$AC = \sqrt{7}$

次に、再び余弦定理を利用してBDの長さを求める。

三角形ABDにおいて、

$BD^2 = AB^2 + AD^2 - 2AB \cdot AD \cdot \cos{\angle BAD} = 2^2 + 2^2 - 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot \cos{\angle BAD} = 8 - 8\cos{\angle BAD}$

三角形BCDにおいて、

$BD^2 = BC^2 + CD^2 - 2BC \cdot CD \cdot \cos{\angle BCD} = 3^2 + 1^2 - 2 \cdot 3 \cdot 1 \cdot \cos{\angle BCD} = 10 - 6\cos{\angle BCD}$

四角形ABCDは円に内接するので、$\angle BAD + \angle BCD = 180^\circ$。よって、$\cos{\angle BCD} = \cos{(180^\circ - \angle BAD)} = -\cos{\angle BAD}$

したがって、

$8 - 8\cos{\angle BAD} = 10 + 6\cos{\angle BAD}$

$14\cos{\angle BAD} = -2$

$\cos{\angle BAD} = -\frac{1}{7}$

$BD^2 = 8 - 8 \cdot (-\frac{1}{7}) = 8 + \frac{8}{7} = \frac{64}{7}$

$BD = \sqrt{\frac{64}{7}} = \frac{8}{\sqrt{7}} = \frac{8\sqrt{7}}{7}$

(2) BEの長さを求める。

円に内接する四角形なので、$\angle BAC = \angle BDC$, $\angle ABD = \angle ACD$

したがって、$\triangle ABE \sim \triangle DCE$

$AB:DC = BE:CE$

$2:1 = BE:CE$

$CE = \frac{1}{2}BE$

また、$\triangle BCE \sim \triangle DAE$

$BC:DA = BE:DE$

$3:2 = BE:DE$

$DE = \frac{2}{3}BE$

$BD = BE + DE = BE + \frac{2}{3}BE = \frac{5}{3}BE$

$BE = \frac{3}{5}BD = \frac{3}{5} \cdot \frac{8\sqrt{7}}{7} = \frac{24\sqrt{7}}{35}$

3. 最終的な答え

(1) $BD = \frac{8\sqrt{7}}{7}$

(2) $BE = \frac{24\sqrt{7}}{35}$