$|\vec{a}| = 4$, $|\vec{b}| = 5$ とし、$\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角を $\theta$ とします。次の各場合について、内積 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ を求めなさい。 (1) $\theta = 30^\circ$ (2) $\theta = 120^\circ$ (3) $\theta = 90^\circ$ (4) $\theta = 180^\circ$

1. 問題の内容

$|\vec{a}| = 4$, $|\vec{b}| = 5$ とし、$\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角を $\theta$ とします。次の各場合について、内積 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ を求めなさい。

(1) $\theta = 30^\circ$

(2) $\theta = 120^\circ$

(3) $\theta = 90^\circ$

(4) $\theta = 180^\circ$

2. 解き方の手順

内積の定義 $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos{\theta}$ を用いて計算します。

(1) $\theta = 30^\circ$ のとき

$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos{30^\circ}$

$\cos{30^\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ であるから、

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 4 \cdot 5 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 20 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 10\sqrt{3}$

(2) $\theta = 120^\circ$ のとき

$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos{120^\circ}$

$\cos{120^\circ} = -\frac{1}{2}$ であるから、

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 4 \cdot 5 \cdot (-\frac{1}{2}) = 20 \cdot (-\frac{1}{2}) = -10$

(3) $\theta = 90^\circ$ のとき

$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos{90^\circ}$

$\cos{90^\circ} = 0$ であるから、

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 4 \cdot 5 \cdot 0 = 0$

(4) $\theta = 180^\circ$ のとき

$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos{180^\circ}$

$\cos{180^\circ} = -1$ であるから、

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 4 \cdot 5 \cdot (-1) = 20 \cdot (-1) = -20$

3. 最終的な答え

(1) $10\sqrt{3}$

(2) $-10$

(3) $0$

(4) $-20$