ベクトル $\vec{a}$ と $\vec{b}$ があり、$|\vec{a}| = 5$, $|\vec{b}| = 3$, $|\vec{a} - 2\vec{b}| = 7$ を満たしている。ベクトル $\vec{a} - 2\vec{b}$ と $2\vec{a} + \vec{b}$ のなす角を $\theta$ とするとき、$\cos\theta$ の値を求める。

1. 問題の内容

ベクトル $\vec{a}$ と $\vec{b}$ があり、$|\vec{a}| = 5$, $|\vec{b}| = 3$, $|\vec{a} - 2\vec{b}| = 7$ を満たしている。ベクトル $\vec{a} - 2\vec{b}$ と $2\vec{a} + \vec{b}$ のなす角を $\theta$ とするとき、$\cos\theta$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、$|\vec{a} - 2\vec{b}| = 7$ の両辺を2乗する。

$|\vec{a} - 2\vec{b}|^2 = 7^2$

$(\vec{a} - 2\vec{b}) \cdot (\vec{a} - 2\vec{b}) = 49$

$|\vec{a}|^2 - 4\vec{a} \cdot \vec{b} + 4|\vec{b}|^2 = 49$

$|\vec{a}|^2 = 5^2 = 25$, $|\vec{b}|^2 = 3^2 = 9$ を代入する。

$25 - 4\vec{a} \cdot \vec{b} + 4(9) = 49$

$25 - 4\vec{a} \cdot \vec{b} + 36 = 49$

$61 - 4\vec{a} \cdot \vec{b} = 49$

$4\vec{a} \cdot \vec{b} = 61 - 49 = 12$

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 3$

次に、$\cos\theta$ を求めるために、以下の公式を用いる。

$\cos\theta = \frac{(\vec{a} - 2\vec{b}) \cdot (2\vec{a} + \vec{b})}{|\vec{a} - 2\vec{b}| |2\vec{a} + \vec{b}|}$

まず、$(\vec{a} - 2\vec{b}) \cdot (2\vec{a} + \vec{b})$ を計算する。

$(\vec{a} - 2\vec{b}) \cdot (2\vec{a} + \vec{b}) = 2|\vec{a}|^2 - 3\vec{a} \cdot \vec{b} - 2|\vec{b}|^2$

$= 2(25) - 3(3) - 2(9) = 50 - 9 - 18 = 23$

次に、$|2\vec{a} + \vec{b}|^2$ を計算する。

$|2\vec{a} + \vec{b}|^2 = (2\vec{a} + \vec{b}) \cdot (2\vec{a} + \vec{b})$

$= 4|\vec{a}|^2 + 4\vec{a} \cdot \vec{b} + |\vec{b}|^2$

$= 4(25) + 4(3) + 9 = 100 + 12 + 9 = 121$

したがって、$|2\vec{a} + \vec{b}| = \sqrt{121} = 11$

よって、$\cos\theta = \frac{23}{7 \cdot 11} = \frac{23}{77}$

3. 最終的な答え

$\cos\theta = \frac{23}{77}$