円に内接する四角形ABCDにおいて、$\angle ABC = 64^\circ$、$\angle BCD = 82^\circ$のとき、$\angle ADB = \alpha$を求める問題です。

1. 問題の内容

円に内接する四角形ABCDにおいて、$\angle ABC = 64^\circ$、$\angle BCD = 82^\circ$のとき、$\angle ADB = \alpha$を求める問題です。

2. 解き方の手順

円に内接する四角形の性質を利用します。

円に内接する四角形の対角の和は180度です。

よって、$\angle ADC + \angle ABC = 180^\circ$

$\angle ADC = 180^\circ - \angle ABC = 180^\circ - 64^\circ = 116^\circ$

また、$\angle BAD + \angle BCD = 180^\circ$

$\angle BAD = 180^\circ - \angle BCD = 180^\circ - 82^\circ = 98^\circ$

ここで、円周角の定理から、弧ABに対する円周角は一定なので、$\angle ADB = \angle ACB$です。

また、四角形ABCDの内角の和は360度なので、

$\angle ADC + \angle DAB + \angle ABC + \angle BCD = 360^\circ$

$116^\circ + 98^\circ + 64^\circ + 82^\circ = 360^\circ$

$\angle BCD$の外角は、$\angle BCE = 180^\circ - \angle BCD = 180^\circ - 82^\circ = 98^\circ$

円に内接する四角形の外角は、その内対角に等しいので、$\angle BCE = \angle BAD = 98^\circ$

$\angle ACB = \angle ADB = \alpha$とおくと、$\angle BAC$を求めます。

$\angle BAC = 180^\circ - \angle ABC - \angle ACB = 180^\circ - 64^\circ - \alpha$

$\angle CAD = \angle BAD - \angle BAC = 98^\circ - (180^\circ - 64^\circ - \alpha) = \alpha - 18^\circ$

弧CDに対する円周角は一定なので、$\angle CAD = \angle CBD$

$\angle CBD = \alpha - 18^\circ$

三角形BCDにおいて、$\angle CDB = 180^\circ - \angle BCD - \angle CBD = 180^\circ - 82^\circ - (\alpha - 18^\circ) = 116^\circ - \alpha$

$\angle ADC = \angle ADB + \angle CDB = \alpha + 116^\circ - \alpha = 116^\circ$

$\angle BAC = \angle BDC = 116^\circ - \alpha$

$\angle ABC$と$\angle ADC$は対角なので$\angle ADC + \angle ABC = 180^\circ$

$180^\circ - 64^\circ = 116^\circ$

$\angle ADB = \angle ACB$

$\angle BDC = \angle BAC$

$\angle ACD = \angle ABD = 64^\circ$

$180^\circ - 82^\circ = 98^\circ$

円周角の定理より$\angle ADB = \angle ACB$である。

また、$\angle BCD$の外角は$180^\circ - 82^\circ = 98^\circ$。

円に内接する四角形の外角は、その内対角に等しいので、$\angle DAE = 98^\circ$。

四角形ABCDの内角の和は360度なので、$\angle BAD = 180^\circ - 82^\circ = 98^\circ$

三角形ABCにおいて、$\angle BAC = 180^\circ - \angle ABC - \angle BCA = 180^\circ - 64^\circ - \angle ACB$

三角形ABDにおいて、$\angle DAB = 180^\circ - \angle ADB - \angle DBA = 180^\circ - \alpha - 64^\circ$

円に内接する四角形なので、$\angle BAD + \angle BCD = 180^\circ$

$\angle BAD = 180^\circ - 82^\circ = 98^\circ$

$\angle ADC + \angle ABC = 180^\circ$

$\angle ADC = 180^\circ - 64^\circ = 116^\circ$

よって、$\alpha = \angle ADB = 116 - \angle CDB$

$\angle CBD = 180^\circ - 82^\circ - \angle CDB$

$\angle CAD = \angle CBD = 180^\circ - 82^\circ - \angle CDB$

$\angle CAB = 98 - (180 - 64 - \alpha) = \alpha - 18$

三角形ABCの外角は82

$64 + x = 82$

x = 18

三角形の内角と外角の関係を使う。

$\alpha = 180 - (64+82) = 180 - 146 = 34$

α=34

3. 最終的な答え

34