円の中心Oと円周上の点A, B, Cを結んだ図において、$\angle AOB = \alpha$, $\angle COB = 50^\circ$, $\angle AOC = 30^\circ$が与えられている。$\alpha$を求める問題。

1. 問題の内容

円の中心Oと円周上の点A, B, Cを結んだ図において、$\angle AOB = \alpha$, $\angle COB = 50^\circ$, $\angle AOC = 30^\circ$が与えられている。$\alpha$を求める問題。

2. 解き方の手順

中心角と円周角の関係を利用する。

* $\angle ACB$は弧ABに対する円周角であり、$\angle AOB$は弧ABに対する中心角であるから、$\angle ACB = \frac{1}{2} \angle AOB = \frac{\alpha}{2}$

* $\angle ABC$は弧ACに対する円周角であり、$\angle AOC$は弧ACに対する中心角であるから、$\angle ABC = \frac{1}{2} \angle AOC = \frac{30}{2} = 15^\circ$

* $\angle BAC$は弧BCに対する円周角であり、$\angle BOC$は弧BCに対する中心角であるから、$\angle BAC = \frac{1}{2} \angle BOC = \frac{50}{2} = 25^\circ$

三角形の内角の和は180度であるから、三角形ABCについて、

$\angle ACB + \angle ABC + \angle BAC = 180^\circ$

$\frac{\alpha}{2} + 15^\circ + 25^\circ = 180^\circ$

$\frac{\alpha}{2} + 40^\circ = 180^\circ$

$\frac{\alpha}{2} = 180^\circ - 40^\circ$

$\frac{\alpha}{2} = 140^\circ$

$\alpha = 280^\circ$

ただし、今回は$\angle AOB$は$\angle ACB$に対する中心角ではなく、360度-$\angle AOB$が中心角である。

$\angle AOB = 360^\circ - \alpha$として考えると、

$\angle ACB = \frac{1}{2} (360^\circ - \alpha) = 180^\circ - \frac{\alpha}{2}$

三角形の内角の和は180度であるから、三角形ABCについて、

$\angle ACB + \angle ABC + \angle BAC = 180^\circ$

$180^\circ - \frac{\alpha}{2} + 15^\circ + 25^\circ = 180^\circ$

$180^\circ - \frac{\alpha}{2} + 40^\circ = 180^\circ$

$-\frac{\alpha}{2} + 220^\circ = 180^\circ$

$-\frac{\alpha}{2} = -40^\circ$

$\alpha = 80^\circ$

3. 最終的な答え

80