円Oにおいて、$\angle COB = 30^\circ$、$\angle ABC = 50^\circ$ である。このとき、$\angle OAB = \alpha$ を求めよ。

1. 問題の内容

円Oにおいて、$\angle COB = 30^\circ$、$\angle ABC = 50^\circ$ である。このとき、$\angle OAB = \alpha$ を求めよ。

2. 解き方の手順

* まず、$\angle CAB$ を求める。円周角の定理より、$\angle CAB = \frac{1}{2} \angle COB = \frac{1}{2} \times 30^\circ = 15^\circ$ である。

* 次に、$\angle ACB$ を求める。三角形の内角の和は$180^\circ$ なので、$\angle ACB = 180^\circ - \angle ABC - \angle CAB = 180^\circ - 50^\circ - 15^\circ = 115^\circ$ である。

* $\angle AOB$ を求める。円周角の定理より、$\angle AOB = 2\angle ACB = 2 \times 115^\circ = 230^\circ$. しかし、$\angle AOB$は中心角なので、中心角は360度より小さいため、$\angle AOB = 360^\circ - 230^\circ = 130^\circ$となる。

* 三角形OABはOA=OBの二等辺三角形なので、$\angle OAB = \angle OBA = \alpha$となる。

$\angle AOB + \angle OAB + \angle OBA = 180^\circ$より、 $130^\circ + \alpha + \alpha = 180^\circ$

$2\alpha = 180^\circ - 130^\circ$

$2\alpha = 50^\circ$

$\alpha = 25^\circ$

3. 最終的な答え

$\alpha = 25^\circ$