円の中心をOとする円周上に点A, B, Cがある。角AOBの内部に点Dがあり、線分AD, BD, COが点Oで交わっている。角AODが$\alpha$, 角BDOが50°, 角COBが30°であるとき、$\alpha$の値を求める。

1. 問題の内容

円の中心をOとする円周上に点A, B, Cがある。角AOBの内部に点Dがあり、線分AD, BD, COが点Oで交わっている。角AODが$\alpha$, 角BDOが50°, 角COBが30°であるとき、$\alpha$の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、三角形OBCに着目します。OBとOCは円の半径なので、OB=OCです。したがって、三角形OBCは二等辺三角形であり、角OBC = 角OCBです。三角形の内角の和は180°なので、

$180^\circ = \angle OBC + \angle OCB + \angle BOC$

$180^\circ = 2\angle OBC + 30^\circ$

$2\angle OBC = 150^\circ$

$\angle OBC = 75^\circ$

次に、角ABC = 角OBC - 角OBA = 50° より、

$\angle OBA = \angle OBC - 50^\circ = 75^\circ - 50^\circ = 25^\circ$

三角形OBAに着目します。OAとOBは円の半径なので、OA=OBです。したがって、三角形OBAは二等辺三角形であり、角OAB = 角OBA = 25°です。三角形の内角の和は180°なので、

$180^\circ = \angle OAB + \angle OBA + \angle AOB$

$180^\circ = 25^\circ + 25^\circ + \angle AOB$

$\angle AOB = 180^\circ - 50^\circ = 130^\circ$

したがって、

$\alpha = 180^\circ - 50^\circ - \angle AOB = 130^\circ$です。

最後に、角AOB = 角AOD + 角BODより、

$130^\circ = \alpha + 50^\circ$

$\alpha = 130^\circ - 50^\circ = 80^\circ$

3. 最終的な答え

80