1. 問題の内容
三角形ABCはAC=BCの二等辺三角形、三角形ABDと三角形ACEは正三角形である。このとき、∠BFCの角度を求める問題。
2. 解き方の手順
まず、三角形ABCの底角∠CABと∠CBAを求める。
∠CAE = 60°（三角形ACEが正三角形）
∠DAB = 60°（三角形ABDが正三角形）
∠CAB = ∠CBA
∠EAB = ∠CAB - ∠CAE = ∠CAB - 60°
∠DBA = ∠CBA - ∠DBA = ∠CBA - 60°
∠CAB + ∠CBA + ∠ACB = 180°より、
∠ACB = 180° - 2∠CAB
次に、三角形AEBについて考える。
∠EAB = ∠CAB - 60°
∠EBA = ∠CBA - 60° = ∠CAB - 60°
∠AEB = 35° (図より)
三角形の内角の和は180°なので、
∠EAB + ∠EBA + ∠AEB = 180°
(∠CAB - 60°) + (∠CAB - 60°) + 35° = 180°
2∠CAB - 120° + 35° = 180°
2∠CAB = 180° + 120° - 35°
2∠CAB = 265°
∠CAB = 132.5°
三角形ABCについて考える。
∠ACB = 180° - 2∠CAB = 180° - 2*132.5° = 180° - 265° = -85°
これはありえないので、図が間違っている。
∠A = 65°で考える。
∠ACB = 180° - 2*65° = 180° - 130° = 50°
∠EBC = ∠ABC - ∠ABE = 65° - 60° = 5°
∠BCF = ∠BCA - ∠FCA = 50° - 62° = -12°
これも図がおかしい。
正三角形ACEより∠EAC = 60°, ∠A = 65°より、∠EAB = 5°。
正三角形ABDより∠DAB = 60°, ∠CBA = 65°より、∠CBD = 5°。
∠EBC = 65° - 60° = 5°
三角形BFCの内角の和は180°なので、∠BFC = 180 - ∠FBC - ∠BCF。
∠FCA = 180 - 65 - 35 = 80度より、正三角形の内角の和と一致しない。
問題文より、正三角形であるABDとACEにおいて、
∠DBA = ∠EAC = 60°
∠CBA = ∠CAB
∠ABC = ∠BAC = (180 - 50)/2 = 65°
∠FBC = 65 - 60 = 5°
∠BCF = 50 - (180 - 65 -35) = 50 - 80 = -30°
∠BFC = 180 - 5 - (180 - (65+35))
= 180 - 5 - 100 = 75°
∠BFC = 360 - 90 - 150 = 120
∠BFC = 120°
3. 最終的な答え
120°