長さが5の線分ABがあり、点Aはx軸上、点Bはy軸上を動くとき、線分ABを2:1に外分する点Qの軌跡を求めよ。

1. 問題の内容

長さが5の線分ABがあり、点Aはx軸上、点Bはy軸上を動くとき、線分ABを2:1に外分する点Qの軌跡を求めよ。

2. 解き方の手順

点Aの座標を$(a, 0)$、点Bの座標を$(0, b)$とします。線分ABの長さが5であることから、$a^2 + b^2 = 5^2 = 25$が成り立ちます。

点Qの座標を$(x, y)$とすると、点Qは線分ABを2:1に外分するので、外分点の公式より以下のようになります。

$x = \frac{-1 \cdot a + 2 \cdot 0}{2 - 1} = -a$

$y = \frac{-1 \cdot 0 + 2 \cdot b}{2 - 1} = 2b$

したがって、$a = -x$、$b = \frac{y}{2}$となります。

$a^2 + b^2 = 25$に代入すると、

$(-x)^2 + (\frac{y}{2})^2 = 25$

$x^2 + \frac{y^2}{4} = 25$

両辺を25で割ると、

$\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{100} = 1$

3. 最終的な答え

点Qの軌跡は楕円であり、その方程式は

$\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{100} = 1$