$\triangle ABC$ があり、$AB=4$, $BC=CA=8$ である。この三角形の外接円上に点 $D$ を $AD=4$ となるように取る (ただし、$D$ は $B$ と異なる)。 以下のものを求める。 (1) $\cos \angle ABC$ (2) $\sin \angle CDA$ (3) $CD$ (4) 四角形 $ABCD$ の面積 $S$

1. 問題の内容

$\triangle ABC$ があり、$AB=4$, $BC=CA=8$ である。この三角形の外接円上に点 $D$ を $AD=4$ となるように取る (ただし、$D$ は $B$ と異なる)。

以下のものを求める。

(1) $\cos \angle ABC$

(2) $\sin \angle CDA$

(3) $CD$

(4) 四角形 $ABCD$ の面積 $S$

2. 解き方の手順

(1) $\cos \angle ABC$ を求める。

$\triangle ABC$ において、余弦定理より、

$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos \angle ABC$

$8^2 = 4^2 + 8^2 - 2 \cdot 4 \cdot 8 \cdot \cos \angle ABC$

$64 = 16 + 64 - 64 \cos \angle ABC$

$64 \cos \angle ABC = 16$

$\cos \angle ABC = \frac{16}{64} = \frac{1}{4}$

(2) $\sin \angle CDA$ を求める。

四角形 $ABCD$ は円に内接するので、$\angle CDA = 180^\circ - \angle ABC$

$\sin \angle CDA = \sin (180^\circ - \angle ABC) = \sin \angle ABC$

$\sin^2 \angle ABC + \cos^2 \angle ABC = 1$ より、

$\sin^2 \angle ABC = 1 - \cos^2 \angle ABC = 1 - (\frac{1}{4})^2 = 1 - \frac{1}{16} = \frac{15}{16}$

$\sin \angle ABC = \sqrt{\frac{15}{16}} = \frac{\sqrt{15}}{4}$

よって、$\sin \angle CDA = \frac{\sqrt{15}}{4}$

(3) $CD$ を求める。

$\triangle ABD$ において、$AB=AD=4$ なので、$\triangle ABD$ は二等辺三角形である。

$\angle CDA = 180^\circ - \angle ABC$

$\triangle ACD$ において、余弦定理より、

$AD^2 = AC^2 + CD^2 - 2 \cdot AC \cdot CD \cdot \cos \angle ACD$

$\angle ACD = \angle ABD$ （円周角の定理より）

$\triangle ABD$ は $AB=AD$ の二等辺三角形なので、$\angle ABD = \angle ADB$

$\angle ACB = \angle ADB$ （円周角の定理より）

$\angle ACD = \angle ACB$

$\triangle ABC$ において、余弦定理より、

$AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 \cdot AC \cdot BC \cdot \cos \angle ACB$

$4^2 = 8^2 + 8^2 - 2 \cdot 8 \cdot 8 \cdot \cos \angle ACB$

$16 = 64 + 64 - 128 \cos \angle ACB$

$128 \cos \angle ACB = 112$

$\cos \angle ACB = \frac{112}{128} = \frac{7}{8}$

$4^2 = 8^2 + CD^2 - 2 \cdot 8 \cdot CD \cdot \frac{7}{8}$

$16 = 64 + CD^2 - 14 CD$

$CD^2 - 14CD + 48 = 0$

$(CD - 6)(CD - 8) = 0$

$CD = 6$ または $CD = 8$

$CD=8$のとき、$\triangle ACD$ は $AC=CD=8$, $AD=4$ となるので、$\angle CAD = \angle CDA$ となり、$\angle ACD = 180^\circ - 2\angle CDA$。

$\sin \angle CDA = \frac{\sqrt{15}}{4}$ より $\angle CDA \approx 75.5^\circ$ となり、$\angle ACD \approx 29^\circ$となる。これは円周角の定理より $\angle ACB = \angle ADB$ となるはずなので矛盾する。

よって、$CD=6$

(4) 四角形 $ABCD$ の面積 $S$ を求める。

$S = \triangle ABC + \triangle ADC$

$\triangle ABC = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \cdot \sin \angle ABC = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 8 \cdot \frac{\sqrt{15}}{4} = 4\sqrt{15}$

$\triangle ADC = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot AC \cdot \sin \angle DAC$

$\sin \angle DAC = \sin \angle DBC$ （円周角の定理より）

$\angle DBC = \angle ABC - \angle ABD$

$\triangle ADC = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot CD \cdot \sin \angle ACD$

$\angle ACD = \angle ABD = \angle ABC - \angle DBC$

$S = \triangle ABC + \triangle ADC = \frac{1}{2} \times 4 \times 8 \times \frac{\sqrt{15}}{4} + \frac{1}{2} \times 4 \times 8 \times \sin(\angle DAC) = 4 \sqrt{15} + 12 \sin(\angle DAC)$

ここで計算が複雑になるため、ブラーマグプタの公式を用いて面積を求める。

$s = \frac{4 + 8 + 4 + 6}{2} = 11$

$S = \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)} = \sqrt{(11-4)(11-8)(11-4)(11-6)} = \sqrt{7 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 5} = \sqrt{735}$

$S = \sqrt{49 \cdot 15} = \sqrt{7^2 \cdot 3 \cdot 5} = 7 \sqrt{15}$

3. 最終的な答え

(1) $\cos \angle ABC = \frac{1}{4}$

(2) $\sin \angle CDA = \frac{\sqrt{15}}{4}$

(3) $CD = 6$

(4) $S = 7 \sqrt{15}$