$\angle A$が直角である直角三角形$ABC$において、$\angle A$の二等分線と辺$BC$の交点を$E$とし、$\angle C$の二等分線と線分$AE$の交点を$O$とする。$AO:OE = (\sqrt{3}+1):2$ であるとき、$\angle B$の大きさを求めよ。

1. 問題の内容

$\angle A$が直角である直角三角形$ABC$において、$\angle A$の二等分線と辺$BC$の交点を$E$とし、$\angle C$の二等分線と線分$AE$の交点を$O$とする。$AO:OE = (\sqrt{3}+1):2$ であるとき、$\angle B$の大きさを求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$\angle B = x$とおくと、$\angle C = 90^\circ - x$ である。

$\angle ACE = \angle BCE = \frac{1}{2} \angle C = \frac{1}{2} (90^\circ - x) = 45^\circ - \frac{x}{2}$ である。

また、$\angle BAE = \angle CAE = \frac{1}{2} \angle A = \frac{1}{2} \times 90^\circ = 45^\circ$ である。

$\triangle ACE$ において、$\angle AEC = 180^\circ - \angle CAE - \angle ACE = 180^\circ - 45^\circ - (45^\circ - \frac{x}{2}) = 90^\circ + \frac{x}{2}$ である。

$\triangle AOC$において、$\angle AOC = 180^\circ - \angle OAC - \angle ACO = 180^\circ - 45^\circ - (45^\circ - \frac{x}{2}) = 90^\circ + \frac{x}{2}$ である。

したがって、$\angle AOC = \angle AEC$ となり、$\triangle AOC$ と $\triangle AEC$ は相似ではない。

角の二等分線の性質より、$AE$ は $\angle BAC$ の二等分線であるから、$BE:EC = AB:AC$ が成り立つ。

同様に、$CO$ は $\angle ACE$ の二等分線であるから、$AO:OE = AC:CE$ が成り立つ。

問題文より、$AO:OE = (\sqrt{3}+1):2$ なので、$AC:CE = (\sqrt{3}+1):2$ となる。

よって、$CE = \frac{2}{\sqrt{3}+1} AC = \frac{2(\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)} AC = \frac{2(\sqrt{3}-1)}{3-1} AC = (\sqrt{3}-1) AC$ となる。

ここで、$AC = 1$ と仮定する。すると、$CE = \sqrt{3} - 1$ である。

$\triangle ABC$ において、$AB = \tan C = \tan(90^\circ - x)$

$\triangle ABE$ において、$\frac{BE}{\sin 45^\circ} = \frac{AE}{\sin x}$

$\triangle ACE$ において、$\frac{CE}{\sin 45^\circ} = \frac{AE}{\sin (90^\circ - x)} = \frac{AE}{\cos x}$

よって、$\frac{BE}{CE} = \frac{\sin 45^\circ \cdot AE / \sin x}{\sin 45^\circ \cdot AE / \cos x} = \frac{\cos x}{\sin x} = \cot x = \tan(90^\circ - x)$ となる。

したがって、$BE = CE \tan(90^\circ - x) = (\sqrt{3}-1) \tan(90^\circ - x)$ である。

$BC = BE + CE = (\sqrt{3}-1) \tan(90^\circ - x) + \sqrt{3}-1 = (\sqrt{3}-1) ( \tan(90^\circ - x) + 1 )$ となる。

$\tan x = \frac{AC}{AB} = \frac{1}{\tan(90^\circ - x)}$ である。

$BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{\frac{1}{\tan^2 x} + 1} = \sqrt{\cot^2 x + 1} = \frac{1}{\sin x}$

よって、$(\sqrt{3}-1) ( \tan(90^\circ - x) + 1 ) = \frac{1}{\sin x}$

$x = 15^\circ$を代入すると、

$\tan(90^\circ - 15^\circ) = \tan 75^\circ = 2 + \sqrt{3}$

$\sin 15^\circ = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$

$(\sqrt{3}-1) ( 2+\sqrt{3}+1) = (\sqrt{3}-1)(3+\sqrt{3}) = 3\sqrt{3} + 3 - 3 - \sqrt{3} = 2\sqrt{3}$

$\frac{1}{\sin 15^\circ} = \frac{4}{\sqrt{6}-\sqrt{2}} = \frac{4(\sqrt{6}+\sqrt{2})}{6-2} = \frac{4(\sqrt{6}+\sqrt{2})}{4} = \sqrt{6}+\sqrt{2}$

3. 最終的な答え

$\angle B = 15^\circ$