$\triangle ABC$ において、辺 $BC$ の中点を $D$ とし、線分 $AD$ を $2:1$ に内分する点を $E$ とする。$\overrightarrow{AB} = \vec{b}$, $\overrightarrow{AC} = \vec{c}$ とするとき、$\overrightarrow{BE}$ を $\vec{b}$ と $\vec{c}$ で表す問題。

1. 問題の内容

$\triangle ABC$ において、辺 $BC$ の中点を $D$ とし、線分 $AD$ を $2:1$ に内分する点を $E$ とする。$\overrightarrow{AB} = \vec{b}$, $\overrightarrow{AC} = \vec{c}$ とするとき、$\overrightarrow{BE}$ を $\vec{b}$ と $\vec{c}$ で表す問題。

2. 解き方の手順

まず、$\overrightarrow{AD}$ を $\vec{b}$ と $\vec{c}$ で表す。$D$ は $BC$ の中点なので、

$$\overrightarrow{AD} = \frac{\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}}{2} = \frac{\vec{b} + \vec{c}}{2}$$

次に、$\overrightarrow{AE}$ を $\overrightarrow{AD}$ で表す。$E$ は $AD$ を $2:1$ に内分するので、

$$\overrightarrow{AE} = \frac{2\overrightarrow{AD}}{3} = \frac{2}{3} \cdot \frac{\vec{b} + \vec{c}}{2} = \frac{1}{3}\vec{b} + \frac{1}{3}\vec{c}$$

最後に、$\overrightarrow{BE}$ を $\vec{b}$ と $\vec{c}$ で表す。

$$\overrightarrow{BE} = \overrightarrow{AE} - \overrightarrow{AB} = \left(\frac{1}{3}\vec{b} + \frac{1}{3}\vec{c}\right) - \vec{b} = -\frac{2}{3}\vec{b} + \frac{1}{3}\vec{c}$$

3. 最終的な答え

$\overrightarrow{BE} = -\frac{2}{3}\vec{b} + \frac{1}{3}\vec{c}$