図の直角三角形において、角$\alpha$の正弦（sin）、余弦（cos）、正接（tan）の値を求める問題です。図には、角$\alpha$を持つ直角三角形ABCが描かれており、辺ABの長さが5、辺BCの長さが3と示されています。

1. 問題の内容

図の直角三角形において、角$\alpha$の正弦（sin）、余弦（cos）、正接（tan）の値を求める問題です。図には、角$\alpha$を持つ直角三角形ABCが描かれており、辺ABの長さが5、辺BCの長さが3と示されています。

2. 解き方の手順

まず、ピタゴラスの定理を使って、斜辺ACの長さを求めます。ピタゴラスの定理は、$a^2 + b^2 = c^2$ であり、この場合、$AB^2 + BC^2 = AC^2$ となります。

$AB = 5$, $BC = 3$ を代入すると、

$5^2 + 3^2 = AC^2$

$25 + 9 = AC^2$

$34 = AC^2$

したがって、$AC = \sqrt{34}$ となります。

次に、$\sin \alpha$, $\cos \alpha$, $\tan \alpha$ をそれぞれ計算します。

* $\sin \alpha = \frac{対辺}{斜辺} = \frac{BC}{AC} = \frac{3}{\sqrt{34}}$

* $\cos \alpha = \frac{隣辺}{斜辺} = \frac{AB}{AC} = \frac{5}{\sqrt{34}}$

* $\tan \alpha = \frac{対辺}{隣辺} = \frac{BC}{AB} = \frac{3}{5}$

$\sin \alpha$と$\cos \alpha$は分母に$\sqrt{34}$があるので有理化しておきます。

$\sin \alpha = \frac{3}{\sqrt{34}} = \frac{3\sqrt{34}}{34}$

$\cos \alpha = \frac{5}{\sqrt{34}} = \frac{5\sqrt{34}}{34}$

3. 最終的な答え

$\sin \alpha = \frac{3\sqrt{34}}{34}$

$\cos \alpha = \frac{5\sqrt{34}}{34}$

$\tan \alpha = \frac{3}{5}$