6で割ると3余り、17で割ると5余る3桁の自然数の中で最大のものを求める。

1. 問題の内容

6で割ると3余り、17で割ると5余る3桁の自然数の中で最大のものを求める。

2. 解き方の手順

求める自然数を $n$ とすると、条件より、ある整数 $x, y$ を用いて、

$n = 6x + 3$

$n = 17y + 5$

と表せる。

したがって、

$6x + 3 = 17y + 5$

$6x = 17y + 2$

$6x - 17y = 2$

$6 \cdot 5 - 17 \cdot 1 = 13$

$6 \cdot (-3) - 17 \cdot (-1) = -1$

よって、

$6 \cdot 6 - 17 \cdot 2 = 2$

$6x - 17y = 2$

$6 \cdot 6 - 17 \cdot 2 = 2$

両辺を引くと

$6(x-6) - 17(y-2) = 0$

$6(x-6) = 17(y-2)$

6と17は互いに素なので、$k$を整数として

$x-6 = 17k$

$y-2 = 6k$

と表せる。

$x = 17k + 6$

$y = 6k + 2$

$n = 6x + 3 = 6(17k+6) + 3 = 102k + 36 + 3 = 102k + 39$

$n = 17y + 5 = 17(6k+2) + 5 = 102k + 34 + 5 = 102k + 39$

$n$は3桁の自然数なので

$100 \leq n \leq 999$

$100 \leq 102k + 39 \leq 999$

$61 \leq 102k \leq 960$

$\frac{61}{102} \leq k \leq \frac{960}{102}$

$0.59 \leq k \leq 9.41$

$k$は整数なので $1 \leq k \leq 9$

$n = 102k + 39$が最大となるのは$k=9$のとき

$n = 102 \cdot 9 + 39 = 918 + 39 = 957$

3. 最終的な答え

957