2つの2次方程式 $x^2 + (a+5)x + 3 + a^2 = 0$ と $x^2 - (3-a)x + (a+1)^2 = 0$ について、一方のみが実数解を持つような $a$ の値の範囲を求める。

1. 問題の内容

2つの2次方程式 $x^2 + (a+5)x + 3 + a^2 = 0$ と $x^2 - (3-a)x + (a+1)^2 = 0$ について、一方のみが実数解を持つような $a$ の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

各2次方程式が実数解を持つための判別式を考える。

最初の2次方程式 $x^2 + (a+5)x + 3 + a^2 = 0$ の判別式を $D_1$ とすると、

$D_1 = (a+5)^2 - 4(3 + a^2) = a^2 + 10a + 25 - 12 - 4a^2 = -3a^2 + 10a + 13$

$D_1 \ge 0$ のとき、実数解を持つ。

$-3a^2 + 10a + 13 \ge 0$

$3a^2 - 10a - 13 \le 0$

$(3a - 13)(a + 1) \le 0$

$-1 \le a \le \frac{13}{3}$

2番目の2次方程式 $x^2 - (3-a)x + (a+1)^2 = 0$ の判別式を $D_2$ とすると、

$D_2 = (3-a)^2 - 4(a+1)^2 = 9 - 6a + a^2 - 4(a^2 + 2a + 1) = 9 - 6a + a^2 - 4a^2 - 8a - 4 = -3a^2 - 14a + 5$

$D_2 \ge 0$ のとき、実数解を持つ。

$-3a^2 - 14a + 5 \ge 0$

$3a^2 + 14a - 5 \le 0$

$(3a - 1)(a + 5) \le 0$

$-5 \le a \le \frac{1}{3}$

一方のみが実数解を持つ条件は、

(1) $D_1 \ge 0$ かつ $D_2 < 0$

(2) $D_1 < 0$ かつ $D_2 \ge 0$

(1)の場合、

$-1 \le a \le \frac{13}{3}$ かつ ($a < -5$ または $a > \frac{1}{3}$)

この範囲は $\frac{1}{3} < a \le \frac{13}{3}$

(2)の場合、

($a < -1$ または $a > \frac{13}{3}$) かつ $-5 \le a \le \frac{1}{3}$

この範囲は $-5 \le a < -1$

よって、$a$ の範囲は $-5 \le a < -1$, $\frac{1}{3} < a \le \frac{13}{3}$

3. 最終的な答え

$-5 \le a < -1$, $\frac{1}{3} < a \le \frac{13}{3}$

オカ = -5, キク = -1, ケ = 1, コ = 3, サシ = 13, ス = 3