$a$ を負の実数とし、$4x^2 + 12y^2 - 12xy + 4x - 18y + 7 = a$ を満たす隣り合う整数 $x, y$ が存在するとき、$a$ の最大値と、そのときの $x, y$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$a$ を負の実数とし、$4x^2 + 12y^2 - 12xy + 4x - 18y + 7 = a$ を満たす隣り合う整数 $x, y$ が存在するとき、$a$ の最大値と、そのときの $x, y$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

与えられた式を平方完成して変形する。$x$ と $y$ が隣り合う整数であることから、$y = x+1$ または $y = x-1$ とおける。それぞれのケースで $a$ の最大値を求め、それらを比較して最終的な $a$ の最大値を決定する。

(1) $y = x+1$ の場合:

与式に $y = x+1$ を代入すると、

$4x^2 + 12(x+1)^2 - 12x(x+1) + 4x - 18(x+1) + 7 = a$

$4x^2 + 12(x^2 + 2x + 1) - 12(x^2 + x) + 4x - 18x - 18 + 7 = a$

$4x^2 + 12x^2 + 24x + 12 - 12x^2 - 12x + 4x - 18x - 18 + 7 = a$

$4x^2 - 2x + 1 = a$

$4(x^2 - \frac{1}{2}x) + 1 = a$

$4(x - \frac{1}{4})^2 - 4 \cdot \frac{1}{16} + 1 = a$

$4(x - \frac{1}{4})^2 - \frac{1}{4} + 1 = a$

$4(x - \frac{1}{4})^2 + \frac{3}{4} = a$

$x$ は整数なので、$x = 0$ のとき $(x-\frac{1}{4})^2 = \frac{1}{16}$, $x = 1$ のとき $(x-\frac{1}{4})^2 = \frac{9}{16}$ である。$a$ の最大値は $x=0$ または $x=1$ で取られる。

$x = 0$ のとき $a = 4(\frac{1}{16}) + \frac{3}{4} = \frac{1}{4} + \frac{3}{4} = 1$

$x = 1$ のとき $a = 4(\frac{9}{16}) + \frac{3}{4} = \frac{9}{4} + \frac{3}{4} = \frac{12}{4} = 3$

したがって、$a = 3$ で最大となり、このとき $x=1, y=2$。ただし、問題文より $a$ は負の実数であるため、これは不適。

(2) $y = x-1$ の場合:

与式に $y = x-1$ を代入すると、

$4x^2 + 12(x-1)^2 - 12x(x-1) + 4x - 18(x-1) + 7 = a$

$4x^2 + 12(x^2 - 2x + 1) - 12x^2 + 12x + 4x - 18x + 18 + 7 = a$

$4x^2 + 12x^2 - 24x + 12 - 12x^2 + 12x + 4x - 18x + 25 = a$

$4x^2 - 26x + 37 = a$

$4(x^2 - \frac{13}{2}x) + 37 = a$

$4(x - \frac{13}{4})^2 - 4(\frac{169}{16}) + 37 = a$

$4(x - \frac{13}{4})^2 - \frac{169}{4} + \frac{148}{4} = a$

$4(x - \frac{13}{4})^2 - \frac{21}{4} = a$

$x$ は整数なので、$x = 3$ のとき $(x - \frac{13}{4})^2 = (\frac{12-13}{4})^2 = \frac{1}{16}$, $x = 4$ のとき $(x - \frac{13}{4})^2 = (\frac{16-13}{4})^2 = \frac{9}{16}$ である。

$x = 3$ のとき $a = 4(\frac{1}{16}) - \frac{21}{4} = \frac{1}{4} - \frac{21}{4} = -\frac{20}{4} = -5$

$x = 4$ のとき $a = 4(\frac{9}{16}) - \frac{21}{4} = \frac{9}{4} - \frac{21}{4} = -\frac{12}{4} = -3$

したがって、$a$ の最大値は $-3$ で、このとき $x=4, y=3$。

3. 最終的な答え

$a$ の最大値は $-3$ であり、そのときの $x$ の値は $4$、$y$ の値は $3$ である。