ある正方形の縦を2倍にし、横を2cm短くした長方形を作ると、その面積は元の正方形の面積より3 $cm^2$小さくなる。元の正方形の1辺の長さを$x$ cmとするとき、以下の問いに答えよ。 (1) 新しく作った長方形の縦の長さ、横の長さをそれぞれ$x$を用いて表せ。 (2) 元の正方形の1辺の長さを求めよ。

1. 問題の内容

ある正方形の縦を2倍にし、横を2cm短くした長方形を作ると、その面積は元の正方形の面積より3 $cm^2$小さくなる。元の正方形の1辺の長さを$x$ cmとするとき、以下の問いに答えよ。

(1) 新しく作った長方形の縦の長さ、横の長さをそれぞれ$x$を用いて表せ。

(2) 元の正方形の1辺の長さを求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 新しく作った長方形の縦の長さは、元の正方形の縦の長さの2倍なので、$2x$ cmである。新しく作った長方形の横の長さは、元の正方形の横の長さから2 cm短くしたものなので、$x-2$ cmである。

(2) 元の正方形の面積は $x^2$ $cm^2$である。新しく作った長方形の面積は、$2x(x-2)$ $cm^2$である。問題文より、長方形の面積は正方形の面積より3 $cm^2$小さいので、

$2x(x-2) = x^2 - 3$

$2x^2 - 4x = x^2 - 3$

$x^2 - 4x + 3 = 0$

$(x-1)(x-3) = 0$

$x = 1, 3$

正方形の辺の長さは正である必要があるので、$x>0$。さらに、長方形の横の長さも正である必要があるので、$x-2>0$、つまり$x>2$。したがって、$x=1$は不適である。

よって、$x=3$。

3. 最終的な答え

(1) 縦の長さ: $2x$ cm, 横の長さ: $(x-2)$ cm

(2) 3 cm