以下の6つの問題について、それぞれ指定された値を求めます。 (1) 1次関数 $y=ax+3$ のグラフが点 $(2,1)$ を通るときの $a$ の値 (2) 関数 $y=ax^2$ において、$x$ が $1$ から $5$ まで増加するときの変化の割合が $12$ であるときの $a$ の値 (3) 1次関数 $y=-3x-6$ において、$x$ の変域が $-1 \le x \le 3$ のときの $y$ の変域 (4) 関数 $y=2x^2$ において、$x$ の変域が $-1 \le x \le 3$ のときの $y$ の変域 (5) 1次関数 $y=-2x+6$ において、$x$ の変域が $0 \le x \le a$ のとき、$y$ の変域が $2 \le y \le b$ となるときの $a, b$ の値 (6) 関数 $y=x^2$ において、$x$ の変域が $a \le x \le 1$ のとき、$y$ の変域が $b \le y \le 9$ となるときの $a, b$ の値

はい、承知いたしました。それでは、問題の解答を示します。

1. 問題の内容

以下の6つの問題について、それぞれ指定された値を求めます。

(1) 1次関数 $y=ax+3$ のグラフが点 $(2,1)$ を通るときの $a$ の値

(2) 関数 $y=ax^2$ において、$x$ が $1$ から $5$ まで増加するときの変化の割合が $12$ であるときの $a$ の値

(3) 1次関数 $y=-3x-6$ において、$x$ の変域が $-1 \le x \le 3$ のときの $y$ の変域

(4) 関数 $y=2x^2$ において、$x$ の変域が $-1 \le x \le 3$ のときの $y$ の変域

(5) 1次関数 $y=-2x+6$ において、$x$ の変域が $0 \le x \le a$ のとき、$y$ の変域が $2 \le y \le b$ となるときの $a, b$ の値

(6) 関数 $y=x^2$ において、$x$ の変域が $a \le x \le 1$ のとき、$y$ の変域が $b \le y \le 9$ となるときの $a, b$ の値

2. 解き方の手順

(1)

点 $(2,1)$ を $y=ax+3$ に代入すると、

$1 = a(2) + 3$

$1 = 2a + 3$

$2a = -2$

$a = -1$

(2)

$x$ が $1$ から $5$ まで増加するときの変化の割合は

$\frac{a(5^2) - a(1^2)}{5-1} = \frac{25a - a}{4} = \frac{24a}{4} = 6a$

これが $12$ に等しいので、

$6a = 12$

$a = 2$

(3)

$y=-3x-6$ において、$x=-1$ のとき $y = -3(-1)-6 = 3-6 = -3$

$x=3$ のとき $y = -3(3)-6 = -9-6 = -15$

$y$ は $x$ の減少関数なので、$-15 \le y \le -3$

(4)

$y=2x^2$ において、$x=-1$ のとき $y=2(-1)^2 = 2(1) = 2$

$x=3$ のとき $y=2(3^2) = 2(9) = 18$

$x=0$ のとき $y=2(0)^2 = 0$

$-1 \le x \le 3$ の範囲で、$y$ は $0$ から増加するので、$0 \le y \le 18$

(5)

$y=-2x+6$ において、$x=0$ のとき $y=-2(0)+6 = 6$

$y=2$ のとき $2 = -2x+6$, $2x = 4$, $x=2$

$x$ が増加すると $y$ は減少するので、$0 \le x \le a$ のとき $2 \le y \le 6$

$a=2$, $b=6$

(6)

$y=x^2$ において、$x=1$ のとき $y=1^2=1$

$y=9$ のとき $x^2=9$, $x=\pm 3$

$x$ の範囲が $a \le x \le 1$ で、$y$ の範囲が $b \le y \le 9$ なので、$a$ は負の数であり、$a = -3$

$x=a$ のとき、$y=b$ となるので、$y = (-3)^2 = 9$

$x=1$ のとき、$y = 1^2 = 1$

よって、$b = 1$

3. 最終的な答え

(1) $a = -1$

(2) $a = 2$

(3) $-15 \le y \le -3$

(4) $0 \le y \le 18$

(5) $a=2$, $b=6$

(6) $a=-3$, $b=1$