2点 $A(-1, 3)$ と $B(5, 9)$ を結ぶ線分 $AB$ について、以下の点の座標を求めます。 (1) 線分 $AB$ を $2:1$ に内分する点 $P$ (2) 線分 $AB$ を $3:2$ に外分する点 $Q$ (3) 線分 $AB$ を $3:5$ に外分する点 $R$ (4) 線分 $AB$ の中点 $M$

1. 問題の内容

2点 $A(-1, 3)$ と $B(5, 9)$ を結ぶ線分 $AB$ について、以下の点の座標を求めます。

(1) 線分 $AB$ を $2:1$ に内分する点 $P$

(2) 線分 $AB$ を $3:2$ に外分する点 $Q$

(3) 線分 $AB$ を $3:5$ に外分する点 $R$

(4) 線分 $AB$ の中点 $M$

2. 解き方の手順

(1) 線分 $AB$ を $m:n$ に内分する点 $P$ の座標は、以下の公式で求められます。

$P(\frac{nx_1 + mx_2}{m+n}, \frac{ny_1 + my_2}{m+n})$

ここで、$A(x_1, y_1)$, $B(x_2, y_2)$ です。

点$P$は線分$AB$を$2:1$に内分するので、$m=2$, $n=1$, $x_1=-1$, $y_1=3$, $x_2=5$, $y_2=9$を代入すると、

$P(\frac{1 \times (-1) + 2 \times 5}{2+1}, \frac{1 \times 3 + 2 \times 9}{2+1}) = P(\frac{-1+10}{3}, \frac{3+18}{3}) = P(\frac{9}{3}, \frac{21}{3}) = P(3, 7)$

(2) 線分 $AB$ を $m:n$ に外分する点 $Q$ の座標は、以下の公式で求められます。

$Q(\frac{-nx_1 + mx_2}{m-n}, \frac{-ny_1 + my_2}{m-n})$

ここで、$A(x_1, y_1)$, $B(x_2, y_2)$ です。

点$Q$は線分$AB$を$3:2$に外分するので、$m=3$, $n=2$, $x_1=-1$, $y_1=3$, $x_2=5$, $y_2=9$を代入すると、

$Q(\frac{-2 \times (-1) + 3 \times 5}{3-2}, \frac{-2 \times 3 + 3 \times 9}{3-2}) = Q(\frac{2+15}{1}, \frac{-6+27}{1}) = Q(17, 21)$

(3) 線分 $AB$ を $m:n$ に外分する点 $R$ の座標は、以下の公式で求められます。

$R(\frac{-nx_1 + mx_2}{m-n}, \frac{-ny_1 + my_2}{m-n})$

ここで、$A(x_1, y_1)$, $B(x_2, y_2)$ です。

点$R$は線分$AB$を$3:5$に外分するので、$m=3$, $n=5$, $x_1=-1$, $y_1=3$, $x_2=5$, $y_2=9$を代入すると、

$R(\frac{-5 \times (-1) + 3 \times 5}{3-5}, \frac{-5 \times 3 + 3 \times 9}{3-5}) = R(\frac{5+15}{-2}, \frac{-15+27}{-2}) = R(\frac{20}{-2}, \frac{12}{-2}) = R(-10, -6)$

(4) 線分 $AB$ の中点 $M$ の座標は、以下の公式で求められます。

$M(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2})$

ここで、$A(x_1, y_1)$, $B(x_2, y_2)$ です。

点$M$は線分$AB$の中点なので、$x_1=-1$, $y_1=3$, $x_2=5$, $y_2=9$を代入すると、

$M(\frac{-1+5}{2}, \frac{3+9}{2}) = M(\frac{4}{2}, \frac{12}{2}) = M(2, 6)$

3. 最終的な答え

(1) $P(3, 7)$

(2) $Q(17, 21)$

(3) $R(-10, -6)$

(4) $M(2, 6)$