$p$ を素数とする。$x^3 + 1 = p$ となるような自然数 $x$ と $p$ の値を求める。

1. 問題の内容

$p$ を素数とする。$x^3 + 1 = p$ となるような自然数 $x$ と $p$ の値を求める。

2. 解き方の手順

$x^3 + 1$ を因数分解すると、

$$x^3 + 1 = (x + 1)(x^2 - x + 1)$$

問題の条件より、

$$(x + 1)(x^2 - x + 1) = p$$

$p$ は素数なので、$(x + 1)$ と $(x^2 - x + 1)$ のどちらかが1でなければならない。

$x$ は自然数なので、$x \geq 1$ である。

(i) $x + 1 = 1$ のとき、$x = 0$ となり、$x$ が自然数であることに矛盾する。

(ii) $x^2 - x + 1 = 1$ のとき、

$$x^2 - x = 0$$

$$x(x - 1) = 0$$

$x$ は自然数なので、$x = 1$

このとき、$x^3 + 1 = 1^3 + 1 = 2$

よって、$p = 2$ となり、これは素数である。

したがって、$x = 1$、$p = 2$ が解となる。

3. 最終的な答え

$x = 1$, $p = 2$