2つの円 $O_1: x^2 + y^2 = 1$ と $O_2: x^2 + 2x + y^2 - 4y - \alpha = 0$ が与えられています。 $\alpha > -5$ の条件のもとで、2つの円が2点で交わるような$\alpha$の値の範囲を求め、さらにそのときの2つの交点を通る直線の方程式を求めます。

1. 問題の内容

2つの円 $O_1: x^2 + y^2 = 1$ と $O_2: x^2 + 2x + y^2 - 4y - \alpha = 0$ が与えられています。

$\alpha > -5$ の条件のもとで、2つの円が2点で交わるような$\alpha$の値の範囲を求め、さらにそのときの2つの交点を通る直線の方程式を求めます。

2. 解き方の手順

まず、円 $O_2$ の方程式を平方完成します。

$x^2 + 2x + y^2 - 4y - \alpha = 0$

$(x+1)^2 - 1 + (y-2)^2 - 4 - \alpha = 0$

$(x+1)^2 + (y-2)^2 = \alpha + 5$

これは、中心が $(-1, 2)$ で、半径が $\sqrt{\alpha + 5}$ の円を表します。

円 $O_1$ の中心は $(0, 0)$ で、半径は $1$ です。

2つの円が2点で交わる条件は、

|半径の差| < 中心間の距離 < 半径の和

であることです。

中心間の距離は $\sqrt{(-1-0)^2 + (2-0)^2} = \sqrt{1+4} = \sqrt{5}$ です。

したがって、

$|\sqrt{\alpha + 5} - 1| < \sqrt{5} < \sqrt{\alpha + 5} + 1$

まず、$\sqrt{5} < \sqrt{\alpha + 5} + 1$ を解きます。

$\sqrt{5} - 1 < \sqrt{\alpha + 5}$

$(\sqrt{5} - 1)^2 < \alpha + 5$

$5 - 2\sqrt{5} + 1 < \alpha + 5$

$6 - 2\sqrt{5} < \alpha + 5$

$1 - 2\sqrt{5} < \alpha$

$\alpha > 1 - 2\sqrt{5}$

次に、$|\sqrt{\alpha + 5} - 1| < \sqrt{5}$ を解きます。

$-\sqrt{5} < \sqrt{\alpha + 5} - 1 < \sqrt{5}$

$1 - \sqrt{5} < \sqrt{\alpha + 5} < 1 + \sqrt{5}$

$(1 - \sqrt{5})^2 < \alpha + 5 < (1 + \sqrt{5})^2$

$1 - 2\sqrt{5} + 5 < \alpha + 5 < 1 + 2\sqrt{5} + 5$

$6 - 2\sqrt{5} < \alpha + 5 < 6 + 2\sqrt{5}$

$1 - 2\sqrt{5} < \alpha < 1 + 2\sqrt{5}$

$\alpha > -5$ の条件と、$\alpha > 1 - 2\sqrt{5} \approx 1 - 2(2.236) = 1 - 4.472 = -3.472$ より、

$\alpha > 1 - 2\sqrt{5}$ を満たす必要があります。

また、$\alpha < 1 + 2\sqrt{5} \approx 1 + 2(2.236) = 1 + 4.472 = 5.472$

したがって、$1 - 2\sqrt{5} < \alpha < 1 + 2\sqrt{5}$

2つの円の交点を通る直線の方程式は、2つの円の方程式の差をとることで求められます。

$(x^2 + 2x + y^2 - 4y - \alpha) - (x^2 + y^2 - 1) = 0$

$2x - 4y - \alpha + 1 = 0$

$2x - 4y + (1 - \alpha) = 0$

3. 最終的な答え

$\alpha$ の範囲: $1 - 2\sqrt{5} < \alpha < 1 + 2\sqrt{5}$

直線の方程式: $2x - 4y + 1 - \alpha = 0$