$\tan{\theta} = -\frac{1}{3}$ のとき、$\sin{\theta}$ と $\cos{\theta}$ の値を求めなさい。ただし、$90^\circ < \theta \le 180^\circ$ とする。答えは有理化すること。

1. 問題の内容

$\tan{\theta} = -\frac{1}{3}$ のとき、$\sin{\theta}$ と $\cos{\theta}$ の値を求めなさい。ただし、$90^\circ < \theta \le 180^\circ$ とする。答えは有理化すること。

2. 解き方の手順

まず、三角関数の相互関係を利用します。

$\tan{\theta} = \frac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}}$

$1 + \tan^2{\theta} = \frac{1}{\cos^2{\theta}}$

これらの式と与えられた条件 $\tan{\theta} = -\frac{1}{3}$ を用いて、$\cos{\theta}$ と $\sin{\theta}$ の値を求めます。

まず、$1 + \tan^2{\theta} = \frac{1}{\cos^2{\theta}}$ に $\tan{\theta} = -\frac{1}{3}$ を代入します。

$1 + (-\frac{1}{3})^2 = \frac{1}{\cos^2{\theta}}$

$1 + \frac{1}{9} = \frac{1}{\cos^2{\theta}}$

$\frac{10}{9} = \frac{1}{\cos^2{\theta}}$

$\cos^2{\theta} = \frac{9}{10}$

$\cos{\theta} = \pm \sqrt{\frac{9}{10}} = \pm \frac{3}{\sqrt{10}} = \pm \frac{3\sqrt{10}}{10}$

条件 $90^\circ < \theta \le 180^\circ$ より、$\cos{\theta} < 0$ であるため、

$\cos{\theta} = -\frac{3\sqrt{10}}{10}$

次に、$\tan{\theta} = \frac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}}$ より、$\sin{\theta} = \tan{\theta} \cdot \cos{\theta}$

$\sin{\theta} = (-\frac{1}{3}) \cdot (-\frac{3\sqrt{10}}{10})$

$\sin{\theta} = \frac{\sqrt{10}}{10}$

3. 最終的な答え

$\sin{\theta} = \frac{\sqrt{10}}{10}$

$\cos{\theta} = -\frac{3\sqrt{10}}{10}$