$\tan{\theta} = 2$ のとき、$\sin{\theta}$ と $\cos{\theta}$ の値を求めなさい。ただし、$0^\circ \leq \theta \leq 90^\circ$ であり、答えは有理化すること。

1. 問題の内容

$\tan{\theta} = 2$ のとき、$\sin{\theta}$ と $\cos{\theta}$ の値を求めなさい。ただし、$0^\circ \leq \theta \leq 90^\circ$ であり、答えは有理化すること。

2. 解き方の手順

まず、$\tan{\theta} = \frac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}}$ であることを利用します。

$\tan{\theta} = 2$ なので、$\sin{\theta} = 2\cos{\theta}$ となります。

次に、$\sin^2{\theta} + \cos^2{\theta} = 1$ という関係式を利用します。

$\sin{\theta} = 2\cos{\theta}$ を代入すると、

$(2\cos{\theta})^2 + \cos^2{\theta} = 1$

$4\cos^2{\theta} + \cos^2{\theta} = 1$

$5\cos^2{\theta} = 1$

$\cos^2{\theta} = \frac{1}{5}$

ここで、$0^\circ \leq \theta \leq 90^\circ$ なので、$\cos{\theta} \geq 0$ です。

したがって、

$\cos{\theta} = \sqrt{\frac{1}{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$

次に、$\sin{\theta} = 2\cos{\theta}$ なので、

$\sin{\theta} = 2 \times \frac{\sqrt{5}}{5} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$

3. 最終的な答え

$\sin{\theta} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$

$\cos{\theta} = \frac{\sqrt{5}}{5}$