$\sin\theta = \frac{1}{4}$のとき、$\cos\theta$と$\tan\theta$の値を求める問題です。ただし、$90^\circ < \theta \le 180^\circ$であり、答えは有理化された形で求めます。

1. 問題の内容

$\sin\theta = \frac{1}{4}$のとき、$\cos\theta$と$\tan\theta$の値を求める問題です。ただし、$90^\circ < \theta \le 180^\circ$であり、答えは有理化された形で求めます。

2. 解き方の手順

まず、三角関数の基本的な関係式 $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ を用いて$\cos\theta$を求めます。

$\sin\theta = \frac{1}{4}$なので、

$(\frac{1}{4})^2 + \cos^2\theta = 1$

$\frac{1}{16} + \cos^2\theta = 1$

$\cos^2\theta = 1 - \frac{1}{16}$

$\cos^2\theta = \frac{15}{16}$

$\cos\theta = \pm\sqrt{\frac{15}{16}}$

$\cos\theta = \pm\frac{\sqrt{15}}{4}$

$\theta$の範囲が$90^\circ < \theta \le 180^\circ$なので、$\cos\theta$は負の値をとります。したがって、

$\cos\theta = -\frac{\sqrt{15}}{4}$

次に、$\tan\theta$を求めます。$\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}$なので、

$\tan\theta = \frac{\frac{1}{4}}{-\frac{\sqrt{15}}{4}}$

$\tan\theta = \frac{1}{4} \cdot \frac{4}{-\sqrt{15}}$

$\tan\theta = -\frac{1}{\sqrt{15}}$

有理化すると、

$\tan\theta = -\frac{1}{\sqrt{15}} \cdot \frac{\sqrt{15}}{\sqrt{15}}$

$\tan\theta = -\frac{\sqrt{15}}{15}$

3. 最終的な答え

$\cos\theta = -\frac{\sqrt{15}}{4}$

$\tan\theta = -\frac{\sqrt{15}}{15}$