三角形ABCが与えられており、$∠A = 45^\circ$, $∠C = 30^\circ$, $a = 6$ である。この三角形ABCの外接円の直径を求める問題です。

1. 問題の内容

三角形ABCが与えられており、$∠A = 45^\circ$, $∠C = 30^\circ$, $a = 6$ である。この三角形ABCの外接円の直径を求める問題です。

2. 解き方の手順

正弦定理を用いることで、外接円の半径を求めることができます。

まず、三角形の内角の和は $180^\circ$ であるから、$∠B$ を計算します。

$∠B = 180^\circ - ∠A - ∠C = 180^\circ - 45^\circ - 30^\circ = 105^\circ$

正弦定理より、

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$

ここで、$R$は外接円の半径を表します。

$a = 6$と$∠A = 45^\circ$が分かっているので、

$\frac{6}{\sin 45^\circ} = 2R$

$\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$ であるから、

$\frac{6}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 2R$

$\frac{12}{\sqrt{2}} = 2R$

$2R = \frac{12\sqrt{2}}{2} = 6\sqrt{2}$

外接円の直径は$2R$なので、$6\sqrt{2}$が答えとなります。

3. 最終的な答え

$6\sqrt{2}$