$x$ と $y$ が互いに素な整数のとき、$xy$ と $x^2 + y^2$ も互いに素であることを示す問題です。

1. 問題の内容

$x$ と $y$ が互いに素な整数のとき、$xy$ と $x^2 + y^2$ も互いに素であることを示す問題です。

2. 解き方の手順

$x$ と $y$ が互いに素であるという仮定から、$xy$ と $x^2 + y^2$ が共通の素因数を持たないことを示すことで、互いに素であることを証明します。

背理法を用いて証明します。

$xy$ と $x^2 + y^2$ が互いに素でないと仮定します。つまり、$xy$ と $x^2 + y^2$ はある素数 $p$ を共通の素因数として持つと仮定します。

このとき、$xy$ は $p$ で割り切れるので、$x$ または $y$ が $p$ で割り切れる必要があります。

(i) $x$ が $p$ で割り切れる場合：

$x = kp$ ($k$ は整数) と表せます。

$x^2 + y^2$ が $p$ で割り切れることから、$x^2 + y^2 = mp$ ($m$ は整数) と表せます。

$x^2 + y^2 = (kp)^2 + y^2 = k^2p^2 + y^2 = mp$

$y^2 = mp - k^2p^2 = p(m - k^2p)$

よって、$y^2$ は $p$ で割り切れるので、$y$ も $p$ で割り切れる必要があります。

しかし、$x$ も $y$ も $p$ で割り切れることは、$x$ と $y$ が互いに素であるという仮定に矛盾します。

(ii) $y$ が $p$ で割り切れる場合：

$y = lp$ ($l$ は整数) と表せます。

$x^2 + y^2$ が $p$ で割り切れることから、$x^2 + y^2 = np$ ($n$ は整数) と表せます。

$x^2 + y^2 = x^2 + (lp)^2 = x^2 + l^2p^2 = np$

$x^2 = np - l^2p^2 = p(n - l^2p)$

よって、$x^2$ は $p$ で割り切れるので、$x$ も $p$ で割り切れる必要があります。

しかし、$x$ も $y$ も $p$ で割り切れることは、$x$ と $y$ が互いに素であるという仮定に矛盾します。

上記(i), (ii)より、$xy$ と $x^2 + y^2$ が共通の素因数 $p$ を持つという仮定は矛盾を生じます。

したがって、$xy$ と $x^2 + y^2$ は互いに素である必要があります。

3. 最終的な答え

$x$ と $y$ が互いに素な整数のとき、$xy$ と $x^2 + y^2$ も互いに素である。