$x$と$y$が互いに素な整数のとき、$5x - 6y$と$x - y$も互いに素であることを証明する問題です。

1. 問題の内容

$x$と$y$が互いに素な整数のとき、$5x - 6y$と$x - y$も互いに素であることを証明する問題です。

2. 解き方の手順

背理法を用いて証明します。

$5x - 6y$と$x - y$が互いに素でないと仮定します。つまり、$5x - 6y$と$x - y$は、$1$より大きい公約数$d$を持つと仮定します。

このとき、$d$は$5x - 6y$も$x - y$も割り切ります。つまり、$5x - 6y = ad$ と $x - y = bd$ を満たす整数 $a$, $b$ が存在します。

$x - y = bd$ より、$x = y + bd$ が成り立ちます。

これを $5x - 6y = ad$ に代入すると、

$5(y + bd) - 6y = ad$

$5y + 5bd - 6y = ad$

$-y + 5bd = ad$

$y = 5bd - ad = (5b - a)d$

また、$x = y + bd$ に $y = (5b - a)d$ を代入すると、

$x = (5b - a)d + bd = (6b - a)d$

よって、$x = (6b - a)d$ かつ $y = (5b - a)d$ となり、$x$と$y$は$d$を公約数に持ちます。

$d$は$1$より大きいので、$x$と$y$が互いに素であるという仮定に矛盾します。

したがって、$5x - 6y$と$x - y$は互いに素である必要があります。

3. 最終的な答え

$x$と$y$が互いに素な整数のとき、$5x - 6y$と$x - y$は互いに素である。 (証明終わり)