直線 $l: y = 2x - 1$ と直線 $m: y = -\frac{2}{3}x + 2$ がある。直線 $l$ と $m$ の交点をA、直線 $l$ と $x$ 軸の交点をB、直線 $m$ と $x$ 軸の交点をCとする。 (1) 点Aの座標を求めよ。 (2) $\triangle ABC$ の面積を求めよ。

1. 問題の内容

直線 $l: y = 2x - 1$ と直線 $m: y = -\frac{2}{3}x + 2$ がある。直線 $l$ と $m$ の交点をA、直線 $l$ と $x$ 軸の交点をB、直線 $m$ と $x$ 軸の交点をCとする。

(1) 点Aの座標を求めよ。

(2) $\triangle ABC$ の面積を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 点Aは直線 $l$ と直線 $m$ の交点なので、連立方程式を解くことで求められる。

$y = 2x - 1$

$y = -\frac{2}{3}x + 2$

この連立方程式を解く。

$2x - 1 = -\frac{2}{3}x + 2$

$6x - 3 = -2x + 6$

$8x = 9$

$x = \frac{9}{8}$

$y = 2(\frac{9}{8}) - 1 = \frac{9}{4} - 1 = \frac{5}{4}$

したがって、点Aの座標は$(\frac{9}{8}, \frac{5}{4})$である。

(2) 点Bは直線 $l$ と $x$ 軸の交点なので、$y=0$ を代入して、$0 = 2x - 1$。よって $x = \frac{1}{2}$。

点Bの座標は$(\frac{1}{2}, 0)$である。

点Cは直線 $m$ と $x$ 軸の交点なので、$y=0$ を代入して、$0 = -\frac{2}{3}x + 2$。よって $\frac{2}{3}x = 2$、$x = 3$。

点Cの座標は$(3, 0)$である。

$\triangle ABC$ の底辺 $BC$ の長さは $3 - \frac{1}{2} = \frac{5}{2}$。

$\triangle ABC$ の高さは点Aの $y$ 座標であり、$\frac{5}{4}$である。

$\triangle ABC$ の面積は $\frac{1}{2} \times \frac{5}{2} \times \frac{5}{4} = \frac{25}{16}$。

3. 最終的な答え

(1) 点Aの座標は$(\frac{9}{8}, \frac{5}{4})$

(2) $\triangle ABC$ の面積は$\frac{25}{16}$