放物線 $y = \frac{1}{2}x^2$ と直線 $l$ が2点A, Bで交わっており、A, Bのx座標がそれぞれ-1, 5である。Oを原点とし、四角形AOPQが長方形になるように、放物線上に点Pを、直線 $l$ 上に点Qをとる。 (1) 2点A, Bの座標と直線 $l$ の方程式を求める。 (2) 点P, Qの座標を求める。

1. 問題の内容

放物線 $y = \frac{1}{2}x^2$ と直線 $l$ が2点A, Bで交わっており、A, Bのx座標がそれぞれ-1, 5である。Oを原点とし、四角形AOPQが長方形になるように、放物線上に点Pを、直線 $l$ 上に点Qをとる。

(1) 2点A, Bの座標と直線 $l$ の方程式を求める。

(2) 点P, Qの座標を求める。

2. 解き方の手順

(1)

点Aのx座標は-1なので、放物線 $y = \frac{1}{2}x^2$ に代入すると、

$y = \frac{1}{2}(-1)^2 = \frac{1}{2}$

よって、Aの座標は $(-1, \frac{1}{2})$。

点Bのx座標は5なので、放物線 $y = \frac{1}{2}x^2$ に代入すると、

$y = \frac{1}{2}(5)^2 = \frac{25}{2}$

よって、Bの座標は $(5, \frac{25}{2})$。

直線 $l$ の式を $y = ax + b$ とおく。

点A, Bを通るので、以下の連立方程式が成り立つ。

$\frac{1}{2} = -a + b$

$\frac{25}{2} = 5a + b$

これを解くと、

$6a = \frac{25}{2} - \frac{1}{2} = \frac{24}{2} = 12$

$a = 2$

$b = \frac{1}{2} + a = \frac{1}{2} + 2 = \frac{5}{2}$

よって、直線 $l$ の方程式は $y = 2x + \frac{5}{2}$。

(2)

四角形AOPQが長方形になるので、点Pのx座標は点Aのx座標と同じ-1である。

点Pは放物線上にあるので、点Pのy座標は $\frac{1}{2}(-1)^2 = \frac{1}{2}$ である。

したがって、点Pの座標は $(-1, \frac{1}{2})$ である。

四角形AOPQが長方形になるので、点Qのx座標は点Oと点Pの距離に等しく、原点O(0, 0)から点P(-1, 1/2)までの距離は1。したがって点Qのx座標は-1となる。

点Qは直線 $l$ 上にあるので、直線 $l$ の式に $x = -1$ を代入すると、

$y = 2(-1) + \frac{5}{2} = -2 + \frac{5}{2} = \frac{1}{2}$

したがって、点Qの座標は $(-1, \frac{1}{2})$ である。

これはPとQが一致してしまっているため、問題文を注意深く読み直すと、四角形AOPQは長方形なので、Pのx座標とQのx座標は等しくなければならない。点Pのx座標はAのx座標と同じなのでPのx座標は-1である。よって、点Qのx座標も-1である。

点Qは直線 $l$ 上にあるので、点Qのy座標は$y = 2(5) + \frac{5}{2} = 10 + \frac{5}{2} = \frac{25}{2}$。よってQの座標は $(5, \frac{25}{2})$。

しかし、これも条件を満たしていない。問題文の条件をもう一度確認すると、四角形AOPQが長方形となるように点Pを放物線上に、点Qを直線上にとるとなっている。したがって、線分AOと線分PQは平行でなければならない。また、線分APと線分OQは平行でなければならない。

点Pのx座標は、点Bのx座標と同じ値になるので5である。点Pは放物線上に存在するので、点Pのy座標は$\frac{1}{2}(5)^2 = \frac{25}{2}$である。したがって、点Pの座標は$(5, \frac{25}{2})$である。

点Qのy座標は点Aのy座標と同じ値になるので$\frac{1}{2}$である。点Qは直線$l$上に存在するので、$\frac{1}{2} = 2x + \frac{5}{2}$。したがって、$2x = \frac{1}{2} - \frac{5}{2} = -2$となり、$x = -1$となる。したがって点Qの座標は$(-1, \frac{1}{2})$となる。

3. 最終的な答え

(1) Aの座標: $(-1, \frac{1}{2})$、Bの座標: $(5, \frac{25}{2})$、直線 $l$ の方程式: $y = 2x + \frac{5}{2}$

(2) Pの座標: $(5, \frac{25}{2})$、Qの座標: $(-1, \frac{1}{2})$