縦9枚、横24枚の正方形のタイルで長方形を作る。この長方形の対角線を2本引いたとき、線が引かれないタイルの数を求める。

1. 問題の内容

縦9枚、横24枚の正方形のタイルで長方形を作る。この長方形の対角線を2本引いたとき、線が引かれないタイルの数を求める。

2. 解き方の手順

まず、長方形全体のタイルの数は $9 \times 24 = 216$ 枚である。

次に、それぞれの対角線が通過するタイルの数を計算する。

対角線が通過するタイルの数を求めるには、長方形の縦の長さと横の長さの最大公約数を考える必要がある。縦の長さは9、横の長さは24なので、最大公約数は3である。

それぞれの対角線が通過するタイルの数は、$9 + 24 - \gcd(9, 24) = 9 + 24 - 3 = 30$ 枚である。

しかし、2本の対角線が重複して通過するタイルがある。

この長方形の中心に関して点対称な位置にあるタイルは、両方の対角線に引かれる。縦9枚、横24枚なので、中心はタイルとタイルの境界になる。

2本の対角線が通過するタイルの数の合計は、$30 \times 2 = 60$ 枚である。

しかし、重複して数えられているタイルがあるため、実際に線が引かれるタイルの数を求める必要がある。

2本の対角線が通らないタイルの数を求める。

$216 - 30 - 30 + x$ (xは両方の対角線が通るタイルの数)

長方形全体のタイルの数：$9 \times 24 = 216$

一方の対角線が通るタイルの数：$9 + 24 - \gcd(9, 24) = 9 + 24 - 3 = 30$

もう一方の対角線が通るタイルの数：$9 + 24 - \gcd(9, 24) = 9 + 24 - 3 = 30$

両方の対角線が通るタイルの数: $\gcd(9, 24)=3$

2本の対角線が少なくとも1本通るタイルの数：$30 + 30 -3 = 57$

2本の対角線が通らないタイルの数：$216 - 57 = 159$

3. 最終的な答え

159枚