長さが6cmの線分ABを直径とする円Oがある。半径OA上にAC=2cmとなる点Cをとる。AB上にDB=DCとなる点Dをとり、直線DCと円Oとの交点のうち点Dと異なる点をEとする。 (1) △ACE∽△DCBであることを証明せよ。 (2) △DCBの面積を求めよ。 (3) 線分CEの長さを求めよ。

はい、承知いたしました。数学の問題を解いていきます。

1. 問題の内容

長さが6cmの線分ABを直径とする円Oがある。半径OA上にAC=2cmとなる点Cをとる。AB上にDB=DCとなる点Dをとり、直線DCと円Oとの交点のうち点Dと異なる点をEとする。

(1) △ACE∽△DCBであることを証明せよ。

(2) △DCBの面積を求めよ。

(3) 線分CEの長さを求めよ。

2. 解き方の手順

(1) △ACE∽△DCBの証明

* ∠Aと∠Dは、ともに弧BEに対する円周角なので、∠A=∠D。

* DB=DCより、△DCBは二等辺三角形なので、∠DCB=∠DBC。

* ∠Eと∠DBCは、ともに弧CEに対する円周角なので、∠E=∠DBC。

* よって、∠DCB=∠E。

* したがって、2組の角がそれぞれ等しいので、△ACE∽△DCB。

(2) △DCBの面積

* 円の半径はAB/2 = 6/2 = 3cm。

* CO = AO - AC = 3 - 2 = 1cm。

* DO = 半径なので、DO = 3cm。

* △CODにおいて、CO=1cm, DO=3cm, CD=DBなので、三平方の定理を用いて、CD = DBを求める。

* 点Dから線分ABに垂線DFを下ろす。△DFOと△DCOは相似。

* △DFO∽△DCOより、DF/DO = CO/CDの関係が成り立つ。

* △DCBの面積 = 1/2 * DB * DF。

次に具体的な値を計算します。

OD=3, OB=3, OC=1 なので、CB = OB-OC = 3-1 =2。

DC = DB なので、△DCBは二等辺三角形。仮にDC=xとすると、DB=x。

この時、OB=3なので、CB=DB-CBとなるため、DB = DC = 3。

点DからABに垂線DFを下ろすと、△DFOについて、三平方の定理より、$DF^2 + OF^2 = OD^2$。

また、OF=OB-FBとなる。DB=DCなので、△DCBは二等辺三角形であり、DFは△DCBの頂点Dから底辺CBに下ろした垂線のため、CBの中点をFとすると、CF=FB=CB/2=1。

したがって、OF=OB-FB = 3-1 =2。

よって、DF=$\sqrt{OD^2 - OF^2}$=$\sqrt{3^2 - 2^2}$=$\sqrt{5}$。

△DCBの面積 = 1/2 * CB * DF = 1/2 * 2 * $\sqrt{5}$ = $\sqrt{5}$ cm$^2$。

(3) 線分CEの長さ

* △ACE∽△DCBより、AC:DC = CE:CB。

* AC=2, DC=$\sqrt{5}$, CB=2なので、CE = (AC*CB)/DC = (2*2)/$\sqrt{5}$ = 4/$\sqrt{5}$ = (4$\sqrt{5}$)/5。

3. 最終的な答え

(1) △ACE∽△DCB (証明は上記参照)

(2) △DCBの面積: $\sqrt{5}$ cm$^2$

(3) CEの長さ: (4$\sqrt{5}$)/5 cm