## 回答

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1. 問題の内容

画像の数学の問題は、全部で4つの問題が含まれています。

* **問題61:** $\triangle ABC$ において、$AD = DB$, $AE = EC$, $BC = 8 \text{ cm}$, $BE = 6 \text{ cm}$ のとき、$DE$ と $EF$ の長さを求める。

* **問題62:** 2つの直角三角形について、それぞれの $x$ の値を求める。

* **問題63:** 以下の値を求める。

* (1) 1辺が $3 \text{ cm}$ の正方形の対角線の長さ。

* (2) 1辺が $14 \text{ cm}$ の正三角形の高さ。

* (3) 2点 $A(-2, 2)$ と $B(3, 4)$ 間の距離。

* **問題64:** 半径 $4 \text{ cm}$ の円Oがあり、中心Oから $10 \text{ cm}$ の距離にある点Aから円Oに接線を引いたとき、接線の長さを求める。

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2. 解き方の手順

以下、各問題の解き方を示します。

**問題61:**

$AD = DB$, $AE = EC$であることから、$DE$は$\triangle ABC$の中点連結定理より、$BC$の半分であることがわかる。また、$E$は$AC$の中点であるので、$EF$は$\triangle ABC$の中点連結定理より、$AB$の半分であることがわかる。

$DE = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2} \times 8 = 4$

$AD = DB$より、$AB = AD + DB = 2DB$であり、$EF$の長さを求めるには、$DF$の長さを求める必要がある。

$\triangle DBE$において、$DF$は$BE$を分割する線分であり、$\triangle ABC$と$\triangle DBE$は相似であるので、$BE$に対応する$BC$から$EF$の長さを求めることができる。

$EF = \frac{1}{2}BE = \frac{1}{2} \times 6 = 3$

**問題62:**

(1) 三平方の定理より、$x^2 = 3^2 + 4^2$。

$x^2 = 9 + 16 = 25$

$x = \sqrt{25} = 5$

(2) 三平方の定理より、$x^2 + 6^2 = 8^2$。

$x^2 + 36 = 64$

$x^2 = 64 - 36 = 28$

$x = \sqrt{28} = 2\sqrt{7}$

**問題63:**

(1) 1辺が $3 \text{ cm}$ の正方形の対角線は、三平方の定理より、$\sqrt{3^2 + 3^2} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2} \text{ cm}$。

(2) 1辺が $14 \text{ cm}$ の正三角形の高さは、ピタゴラスの定理より、高さをhとすると

$h = \sqrt{14^2 - 7^2} = \sqrt{196 - 49} = \sqrt{147} = 7\sqrt{3} \text{ cm}$

(3) 2点 $A(-2, 2)$ と $B(3, 4)$ 間の距離は、

$\sqrt{(3 - (-2))^2 + (4 - 2)^2} = \sqrt{(5)^2 + (2)^2} = \sqrt{25 + 4} = \sqrt{29}$

**問題64:**

円Oの中心から接点までの線分は接線に垂直である。したがって、円Oの中心、接点、点Aを結ぶ三角形は直角三角形である。

円Oの半径は $4 \text{ cm}$ であり、円Oの中心から点Aまでの距離は $10 \text{ cm}$ である。接線の長さを $x$ とすると、三平方の定理より、

$x^2 + 4^2 = 10^2$

$x^2 + 16 = 100$

$x^2 = 84$

$x = \sqrt{84} = 2\sqrt{21} \text{ cm}$

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3. 最終的な答え

* **問題61:** $DE = 4 \text{ cm}$, $EF = 3 \text{ cm}$

* **問題62:** (1) $x = 5 \text{ cm}$, (2) $x = 2\sqrt{7} \text{ cm}$

* **問題63:** (1) $3\sqrt{2} \text{ cm}$, (2) $7\sqrt{3} \text{ cm}$, (3) $\sqrt{29}$

* **問題64:** $2\sqrt{21} \text{ cm}$