半径4cmの円の$\frac{1}{4}$の扇形を、図のように直線を軸として回転させてできる立体について、表面積と体積を求める問題です。

## 問題68

1. 問題の内容

半径4cmの円の$\frac{1}{4}$の扇形を、図のように直線を軸として回転させてできる立体について、表面積と体積を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) 表面積

回転させると、半径4cmの半球の$\frac{1}{4}$と、底面が半径4cmの扇形2つできる。

- 半球の$\frac{1}{4}$の表面積: $4 \pi r^2 \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = 4 \pi (4^2) \times \frac{1}{4} = 16 \pi$

- 底面の扇形の面積: $\pi r^2 \times \frac{1}{4} = \pi (4^2) \times \frac{1}{4} = 4 \pi$

底面は2つあるので$4\pi \times 2 = 8\pi$

よって、表面積は$16 \pi + 8 \pi = 24\pi$

(2) 体積

回転させると、半径4cmの半球の$\frac{1}{4}$の体積を求めることになる。

- 半球の体積: $\frac{4}{3} \pi r^3 \times \frac{1}{2} = \frac{2}{3} \pi r^3$

求める体積: $\frac{2}{3} \pi (4^3) \times \frac{1}{2} = \frac{1}{6} \times 128\pi = \frac{64}{3} \pi$

3. 最終的な答え

(1) 表面積: $24\pi \text{ cm}^2$

(2) 体積: $\frac{64}{3}\pi \text{ cm}^3$

## 問題69

1. 問題の内容

相似な円柱Pと円柱Qがあり、相似比が2:3である。円柱Pの半径が5cm、高さが10cmであるとき、以下の問題を解く。

(1) 円柱Pの表面積を求める。

(2) 円柱Pの体積を求める。

(3) 円柱Qの表面積を求める。

(4) 円柱Qの体積を求める。

2. 解き方の手順

(1) 円柱Pの表面積

円柱の表面積は、側面積 + 底面積 × 2で求められる。

- 底面積: $\pi r^2 = \pi (5^2) = 25\pi$

- 側面積: $2 \pi r h = 2 \pi (5) (10) = 100\pi$

表面積: $100\pi + 25\pi \times 2 = 100\pi + 50\pi = 150\pi$

(2) 円柱Pの体積

円柱の体積は、底面積 × 高さで求められる。

- 底面積: $\pi r^2 = \pi (5^2) = 25\pi$

- 体積: $25\pi \times 10 = 250\pi$

(3) 円柱Qの表面積

相似比が2:3なので、面積比は $2^2:3^2 = 4:9$ である。

円柱Pの表面積は$150\pi$なので、円柱Qの表面積を$S$とすると、

$4:9 = 150\pi:S$

$S = \frac{9}{4} \times 150\pi = \frac{1350}{4}\pi = \frac{675}{2}\pi$

(4) 円柱Qの体積

相似比が2:3なので、体積比は $2^3:3^3 = 8:27$ である。

円柱Pの体積は$250\pi$なので、円柱Qの体積を$V$とすると、

$8:27 = 250\pi:V$

$V = \frac{27}{8} \times 250\pi = \frac{6750}{8}\pi = \frac{3375}{4}\pi$

3. 最終的な答え

(1) 円柱Pの表面積: $150\pi \text{ cm}^2$

(2) 円柱Pの体積: $250\pi \text{ cm}^3$

(3) 円柱Qの表面積: $\frac{675}{2}\pi \text{ cm}^2$

(4) 円柱Qの体積: $\frac{3375}{4}\pi \text{ cm}^3$

## 問題70

1. 問題の内容

正四角錐の容器に2Lの水を入れたら、容器のちょうど半分の深さまで水が入った。この容器がいっぱいになるまで水を入れるとき、あと何Lの水が必要かを求める問題。

2. 解き方の手順

相似比が1:2（深さの比）なので、体積比は$1^3:2^3 = 1:8$となる。

半分の深さまで入れた水の体積が2Lなので、全体の体積は$2 \times 8 = 16 \text{ L}$

あと必要な水の量は$16 - 2 = 14 \text{ L}$

3. 最終的な答え

14 L