画像に写っている数学の問題は全部で5問あります。 (1) $y$ は $x$ の2乗に比例し、$x=-3$ のとき $y=3$ であるとき、$y$ を $x$ の式で表す。 (2) 関数 $y=2x^2$ で、$x$ の値が $1$ から $3$ まで増加するときの変化の割合を求める。 (3) 関数 $y=-\frac{1}{4}x^2$ で、$x$ の変域が $-2 \le x \le 5$ のときの $y$ の変域を求める。 (4) 関数 $y=ax^2$ で、$x$ の値が $-4$ から $-2$ まで増加するときの変化の割合は $3$ である。$a$ の値を求める。 (5) 関数 $y=ax^2$ で、$x$ の変域が $-1 \le x \le 3$ のとき、$y$ の変域が $0 \le y \le 6$ である。$a$ の値を求める。

はい、承知いたしました。問題を解いていきましょう。

1. 問題の内容

画像に写っている数学の問題は全部で5問あります。

(1) $y$ は $x$ の2乗に比例し、$x=-3$ のとき $y=3$ であるとき、$y$ を $x$ の式で表す。

(2) 関数 $y=2x^2$ で、$x$ の値が $1$ から $3$ まで増加するときの変化の割合を求める。

(3) 関数 $y=-\frac{1}{4}x^2$ で、$x$ の変域が $-2 \le x \le 5$ のときの $y$ の変域を求める。

(4) 関数 $y=ax^2$ で、$x$ の値が $-4$ から $-2$ まで増加するときの変化の割合は $3$ である。$a$ の値を求める。

(5) 関数 $y=ax^2$ で、$x$ の変域が $-1 \le x \le 3$ のとき、$y$ の変域が $0 \le y \le 6$ である。$a$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1)

$y$ は $x$ の2乗に比例するので、$y=ax^2$ とおける。

$x=-3$ のとき $y=3$ なので、これを代入して

$3 = a(-3)^2 = 9a$

$a = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$

したがって、$y=\frac{1}{3}x^2$

(2)

変化の割合は $\frac{yの増加量}{xの増加量}$ で求められる。

$x=1$ のとき $y = 2(1)^2 = 2$

$x=3$ のとき $y = 2(3)^2 = 18$

変化の割合は $\frac{18-2}{3-1} = \frac{16}{2} = 8$

(3)

関数 $y=-\frac{1}{4}x^2$ は上に凸のグラフになる。

$x$ の変域が $-2 \le x \le 5$ なので、この範囲で $y$ の最大値は $x=0$ のときの $y=0$ である。

$x=-2$ のとき $y = -\frac{1}{4}(-2)^2 = -1$

$x=5$ のとき $y = -\frac{1}{4}(5)^2 = -\frac{25}{4} = -6.25$

したがって、$y$ の最小値は $-\frac{25}{4}$ である。

よって、$y$ の変域は $-\frac{25}{4} \le y \le 0$

(4)

$x=-4$ のとき $y = a(-4)^2 = 16a$

$x=-2$ のとき $y = a(-2)^2 = 4a$

変化の割合は $\frac{4a-16a}{-2-(-4)} = \frac{-12a}{2} = -6a$

これが $3$ に等しいので、

$-6a = 3$

$a = -\frac{3}{6} = -\frac{1}{2}$

(5)

関数 $y=ax^2$ の $y$ の変域が $0 \le y \le 6$ であることから、$a>0$ であることがわかる。

$x$ の変域 $-1 \le x \le 3$ の中で、$y$ が最大になるのは $x=3$ のときである。

よって、$y = a(3)^2 = 9a = 6$

$a = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$

3. 最終的な答え

(1) $y = \frac{1}{3}x^2$

(2) $8$

(3) $-\frac{25}{4} \le y \le 0$

(4) $a = -\frac{1}{2}$

(5) $a = \frac{2}{3}$