放物線 $y = -5x^2 + 10x + 2$ を $x$ 軸方向に $2$, $y$ 軸方向に $-4$ だけ平行移動したときに得られる放物線の方程式を求める。

1. 問題の内容

放物線 $y = -5x^2 + 10x + 2$ を $x$ 軸方向に $2$, $y$ 軸方向に $-4$ だけ平行移動したときに得られる放物線の方程式を求める。

2. 解き方の手順

放物線を $x$ 軸方向に $a$, $y$ 軸方向に $b$ だけ平行移動すると、元の放物線の方程式 $y = f(x)$ は $y - b = f(x - a)$ に変わる。

この問題では、$a = 2$, $b = -4$ なので、$y - (-4) = -5(x - 2)^2 + 10(x - 2) + 2$ となる。

これを整理する。

$y + 4 = -5(x^2 - 4x + 4) + 10x - 20 + 2$

$y + 4 = -5x^2 + 20x - 20 + 10x - 18$

$y = -5x^2 + 30x - 42$

3. 最終的な答え

$y = -5x^2 + 30x - 42$