関数 $y = \frac{1}{2}x^2$ のグラフ上に、x座標がそれぞれ-3, 2となる点A, Bをとる。また、点Cはx軸上の点であり、x座標は-3である。 (1) 直線ABの式を求めなさい。 (2) 三角形AOBの面積を求めなさい。

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{1}{2}x^2$ のグラフ上に、x座標がそれぞれ-3, 2となる点A, Bをとる。また、点Cはx軸上の点であり、x座標は-3である。

(1) 直線ABの式を求めなさい。

(2) 三角形AOBの面積を求めなさい。

2. 解き方の手順

(1) 直線ABの式を求める。

まず、点A, Bの座標を求める。

点Aのx座標は-3なので、$y = \frac{1}{2}(-3)^2 = \frac{9}{2}$。したがって、Aの座標は$(-3, \frac{9}{2})$。

点Bのx座標は2なので、$y = \frac{1}{2}(2)^2 = 2$。したがって、Bの座標は$(2, 2)$。

次に、直線ABの傾きを求める。

傾き = $\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{2 - \frac{9}{2}}{2 - (-3)} = \frac{-\frac{5}{2}}{5} = -\frac{1}{2}$

直線ABの式を$y = ax + b$とおくと、$a = -\frac{1}{2}$なので、$y = -\frac{1}{2}x + b$。

この直線は点B$(2, 2)$を通るので、$2 = -\frac{1}{2}(2) + b$。

$2 = -1 + b$より、$b = 3$。

よって、直線ABの式は$y = -\frac{1}{2}x + 3$。

(2) 三角形AOBの面積を求める。

三角形AOBの面積は、y軸で分割して、三角形AOO'と三角形BOO'の面積の和として求める。ここでO'は、AとBからy軸に下ろした垂線の足。

三角形AOO'の面積は、$\frac{1}{2} \times OO' \times |x_A| = \frac{1}{2} \times \frac{9}{2} \times |-3| = \frac{27}{4}$

三角形BOO'の面積は、$\frac{1}{2} \times OO' \times |x_B| = \frac{1}{2} \times 2 \times |2| = 2$

三角形AOBの面積 = $\frac{27}{4} + 2 = \frac{27}{4} + \frac{8}{4} = \frac{35}{4}$

3. 最終的な答え

(1) 直線ABの式: $y = -\frac{1}{2}x + 3$

(2) 三角形AOBの面積: $\frac{35}{4}$