二次関数 $y = -x^2 + 6x - 8$ の最大値、最小値とそのときの $x$ の値を求めます。もし最大値または最小値が存在しない場合は「なし」と答えます。

1. 問題の内容

二次関数 $y = -x^2 + 6x - 8$ の最大値、最小値とそのときの $x$ の値を求めます。もし最大値または最小値が存在しない場合は「なし」と答えます。

2. 解き方の手順

まず、与えられた二次関数を平方完成します。

$y = -x^2 + 6x - 8$

$y = -(x^2 - 6x) - 8$

$y = -(x^2 - 6x + 9 - 9) - 8$

$y = -((x - 3)^2 - 9) - 8$

$y = -(x - 3)^2 + 9 - 8$

$y = -(x - 3)^2 + 1$

この式から、グラフは上に凸の放物線であり、頂点の座標は $(3, 1)$ であることがわかります。したがって、最大値は $x = 3$ のときに $y = 1$ をとります。

最小値は存在しません。なぜなら、放物線は下に無限に伸びているからです。したがって、最小値は「なし」となります。

3. 最終的な答え

最大値: 1 ($x = 3$ のとき)

最小値: なし ($x =$ なし のとき)