(2) $\triangle AOB$ の面積を求める問題。 (3) 線分 $AC$ 上の点で、$\triangle AOB = \triangle APB$ となるような点 $P$ の座標を求める問題。

1. 問題の内容

(2) $\triangle AOB$ の面積を求める問題。

(3) 線分 $AC$ 上の点で、$\triangle AOB = \triangle APB$ となるような点 $P$ の座標を求める問題。

2. 解き方の手順

この画像だけでは、$A, B, O, C$ の座標が不明なため、具体的な面積や座標を求めることはできません。問題文に座標が与えられていることを前提として、解き方の手順のみを示します。

(2) $\triangle AOB$ の面積を求める問題

まず、$A$ と $B$ と $O$ の座標を読み取ります。それぞれ、$A(x_A, y_A), B(x_B, y_B), O(x_O, y_O)$ とします。

$\triangle AOB$ の面積 $S$ は、以下の公式で求めることができます。ただし、$O$ が原点 $(0, 0)$ の場合は、より簡単な式で計算できます。$O$ が原点の場合:

$S = \frac{1}{2} |x_A y_B - x_B y_A|$

$O$ が原点でない場合は、$A', B'$ を $A'(x_A-x_O, y_A-y_O), B'(x_B-x_O, y_B-y_O)$ と定義し、

$S = \frac{1}{2} |(x_A-x_O)(y_B-y_O) - (x_B-x_O)(y_A-y_O)|$

として計算します。

(3) 線分 $AC$ 上の点で、$\triangle AOB = \triangle APB$ となるような点 $P$ の座標を求める問題

まず、$A, B, C$ の座標を読み取ります。それぞれ、$A(x_A, y_A), B(x_B, y_B), C(x_C, y_C)$ とします。

点 $P$ は線分 $AC$ 上にあるので、$P$ の座標はパラメータ $t$ ($0 \le t \le 1$) を用いて、$P(x_P, y_P) = (1-t)A + tC = ((1-t)x_A + tx_C, (1-t)y_A + ty_C)$ と表すことができます。

$\triangle APB$ の面積を $t$ の関数として表します。$\triangle APB$ の面積は、

$\frac{1}{2} |(x_A-x_P)(y_B-y_P) - (x_B-x_P)(y_A-y_P)|$

で計算できます。この面積が $\triangle AOB$ の面積に等しいという条件から、$t$ に関する方程式を作ります。

その方程式を解いて、$t$ の値を求め、$0 \le t \le 1$ を満たす解を選びます。

求めた $t$ の値を $P(x_P, y_P) = ((1-t)x_A + tx_C, (1-t)y_A + ty_C)$ に代入して、$P$ の座標を求めます。

直線 $AB$ と平行で、点 $O$ を通る直線と線分 $AC$ との交点を考えるヒントが与えられています。これは、$\triangle AOB$ と $\triangle APB$ の面積が等しいとき、底辺 $AB$ が共通なので、高さが等しくなることを意味します。したがって、$AB$ と平行で $O$ を通る直線上に $P$ が存在します。

3. 最終的な答え

問題文に座標が与えられていないため、具体的な数値解を求めることはできません。しかし、解き方の手順に従えば、$A, B, C, O$ の座標が分かれば $\triangle AOB$ の面積と点 $P$ の座標を求めることができます。