放物線 $y = \frac{1}{2}x^2$ 上に $x$ 座標がそれぞれ $-3$ と $2$ である点 $A, B$ がある。また、点 $C$ は $x$ 軸上の点であり、$x$ 座標は $-3$ である。 (1) 直線 $AB$ の式を求めよ。 (2) $\triangle AOB$ の面積を求めよ。 (3) 線分 $AC$ 上の点で、$\triangle AOB = \triangle APB$ となるような点 $P$ の座標を求めよ。

1. 問題の内容

放物線 $y = \frac{1}{2}x^2$ 上に $x$ 座標がそれぞれ $-3$ と $2$ である点 $A, B$ がある。また、点 $C$ は $x$ 軸上の点であり、$x$ 座標は $-3$ である。

(1) 直線 $AB$ の式を求めよ。

(2) $\triangle AOB$ の面積を求めよ。

(3) 線分 $AC$ 上の点で、$\triangle AOB = \triangle APB$ となるような点 $P$ の座標を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$A, B$ の座標を求める。

$A$ の $x$ 座標は $-3$ なので、$A$ の $y$ 座標は $y = \frac{1}{2} \times (-3)^2 = \frac{9}{2}$。よって、$A(-3, \frac{9}{2})$。

$B$ の $x$ 座標は $2$ なので、$B$ の $y$ 座標は $y = \frac{1}{2} \times 2^2 = 2$。よって、$B(2, 2)$。

次に、直線 $AB$ の式を $y = ax + b$ とおく。

$A, B$ の座標を代入すると、

$\frac{9}{2} = -3a + b$

$2 = 2a + b$

この連立方程式を解く。

上の式から下の式を引くと、

$\frac{9}{2} - 2 = -3a - 2a$

$\frac{5}{2} = -5a$

$a = -\frac{1}{2}$

$2 = 2 \times (-\frac{1}{2}) + b$

$2 = -1 + b$

$b = 3$

よって、直線 $AB$ の式は $y = -\frac{1}{2}x + 3$。

(2)

$\triangle AOB$ の面積を求める。

点 $O$ から $x$ 軸に垂線を引くと、$\triangle AOB$ は2つの三角形に分割できる。

$\triangle AOB$ の面積は、$\triangle AOC$ の面積と $\triangle BOC$ の面積の和になる。

$\triangle AOC$ の面積は、$\frac{1}{2} \times OC \times (Aのy座標) = \frac{1}{2} \times 3 \times \frac{9}{2} = \frac{27}{4}$。

$\triangle BOC$ の面積は、$\frac{1}{2} \times OC \times (Bのy座標) = \frac{1}{2} \times 2 \times 2 = 2$。

$\triangle AOB = \frac{27}{4} + 2 = \frac{27}{4} + \frac{8}{4} = \frac{35}{4}$。

(3)

点 $C$ の座標は $(-3, 0)$。点 $A$ の座標は $(-3, \frac{9}{2})$。

線分 $AC$ 上の点を $P(x, y)$ とすると、$x = -3$ なので、$P(-3, y)$ と表せる。

$0 \le y \le \frac{9}{2}$。

$\triangle APB$ の面積は、$\triangle AOB$ の面積と等しいので、$\frac{35}{4}$。

$\triangle APB$ の面積は、$\frac{1}{2} \times AB \times (PとABの距離)$

$AB = \sqrt{(2-(-3))^2 + (2-\frac{9}{2})^2} = \sqrt{25 + (\frac{-5}{2})^2} = \sqrt{25 + \frac{25}{4}} = \sqrt{\frac{125}{4}} = \frac{5\sqrt{5}}{2}$。

直線 $AB$ の式は $y = -\frac{1}{2}x + 3$ なので、$x + 2y - 6 = 0$。

点 $P(-3, y)$ と直線 $x + 2y - 6 = 0$ の距離は、

$\frac{|-3 + 2y - 6|}{\sqrt{1^2 + 2^2}} = \frac{|2y - 9|}{\sqrt{5}}$。

$\triangle APB$ の面積は、$\frac{1}{2} \times AB \times (PとABの距離) = \frac{1}{2} \times \frac{5\sqrt{5}}{2} \times \frac{|2y - 9|}{\sqrt{5}} = \frac{5}{4} |2y - 9|$。

$\frac{5}{4} |2y - 9| = \frac{35}{4}$

$|2y - 9| = 7$

$2y - 9 = 7$ または $2y - 9 = -7$

$2y = 16$ または $2y = 2$

$y = 8$ または $y = 1$

$0 \le y \le \frac{9}{2}$ なので、$y = 1$。

よって、$P(-3, 1)$。

3. 最終的な答え

(1) $y = -\frac{1}{2}x + 3$

(2) $\frac{35}{4}$

(3) $(-3, 1)$