三角形ABCにおいて、$AB = \sqrt{5}$、$AC = \sqrt{2}$、$\angle ACB = 135^\circ$であるとき、辺BCの長さを求める。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$AB = \sqrt{5}$、$AC = \sqrt{2}$、$\angle ACB = 135^\circ$であるとき、辺BCの長さを求める。

2. 解き方の手順

余弦定理を用いて、辺BCの長さを求めます。余弦定理は、三角形ABCにおいて以下の式で表されます。

$AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 \cdot AC \cdot BC \cdot \cos(\angle ACB)$

ここで、与えられた値を代入します。$AB = \sqrt{5}$、$AC = \sqrt{2}$、$\angle ACB = 135^\circ$なので、

$(\sqrt{5})^2 = (\sqrt{2})^2 + BC^2 - 2 \cdot \sqrt{2} \cdot BC \cdot \cos(135^\circ)$

$5 = 2 + BC^2 - 2 \sqrt{2} \cdot BC \cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2})$

$5 = 2 + BC^2 + 2 BC$

$BC^2 + 2BC - 3 = 0$

この二次方程式を解きます。因数分解すると

$(BC + 3)(BC - 1) = 0$

よって、$BC = -3$または$BC = 1$となります。

BCは辺の長さなので正の値を取ります。

3. 最終的な答え

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