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与えられた条件 $F'(x) = -2x + 3$ と $F(-2) = -3$ を満たす関数 $F(x)$ を求めよ。

解析学積分微分関数積分定数
2025/4/7

1. 問題の内容

与えられた条件 F′(x)=−2x+3F'(x) = -2x + 3 と F(−2)=−3F(-2) = -3 を満たす関数 F(x)F(x) を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、F′(x)F'(x) を積分して F(x)F(x) を求めます。
F′(x)=−2x+3F'(x) = -2x + 3 を積分すると、
F(x)=∫(−2x+3)dx=−x2+3x+CF(x) = \int (-2x + 3) dx = -x^2 + 3x + C
ここで、CC は積分定数です。
次に、F(−2)=−3F(-2) = -3 を用いて CC の値を決定します。
F(−2)=−(−2)2+3(−2)+C=−4−6+C=−10+C=−3F(-2) = -(-2)^2 + 3(-2) + C = -4 - 6 + C = -10 + C = -3
したがって、C=−3+10=7C = -3 + 10 = 7 となります。
よって、F(x)=−x2+3x+7F(x) = -x^2 + 3x + 7

3. 最終的な答え

F(x)=−x2+3x+7F(x) = -x^2 + 3x + 7

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