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与えられた導関数 $F'(x) = -2x + 3$ と条件 $F(2) = 0$ を満たす関数 $F(x)$ を求めよ。

解析学積分導関数微分関数積分定数
2025/4/7

1. 問題の内容

与えられた導関数 F′(x)=−2x+3F'(x) = -2x + 3 と条件 F(2)=0F(2) = 0 を満たす関数 F(x)F(x) を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、F′(x)F'(x) を積分して F(x)F(x) を求めます。
F(x)=∫F′(x)dx=∫(−2x+3)dxF(x) = \int F'(x) dx = \int (-2x + 3) dx
積分を実行すると、
F(x)=−x2+3x+CF(x) = -x^2 + 3x + C
ここで、CC は積分定数です。
次に、F(2)=0F(2) = 0 の条件を使って積分定数 CC を求めます。
F(2)=−(2)2+3(2)+C=−4+6+C=2+CF(2) = -(2)^2 + 3(2) + C = -4 + 6 + C = 2 + C
F(2)=0F(2) = 0 であるから、
2+C=02 + C = 0
C=−2C = -2
したがって、F(x)F(x) は次のようになります。
F(x)=−x2+3x−2F(x) = -x^2 + 3x - 2

3. 最終的な答え

F(x)=−x2+3x−2F(x) = -x^2 + 3x - 2

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