与えられた積分 $\int x \cos x dx$ を計算せよ。

承知いたしました。以下に問題の解答を示します。

1. 問題の内容

与えられた積分 $\int x \cos x dx$ を計算せよ。

2. 解き方の手順

この積分は部分積分を用いて解くことができます。部分積分の公式は以下の通りです。

$\int u dv = uv - \int v du$

ここで、$u = x$ と $dv = \cos x dx$ と置きます。すると、$du = dx$ となり、$v = \int \cos x dx = \sin x$ となります。

したがって、部分積分の公式に当てはめると、

$\int x \cos x dx = x \sin x - \int \sin x dx$

$\int \sin x dx = -\cos x$ であるから、

$\int x \cos x dx = x \sin x - (-\cos x) + C$

$\int x \cos x dx = x \sin x + \cos x + C$

ここで、$C$ は積分定数です。

3. 最終的な答え

$\int x \cos x dx = x \sin x + \cos x + C$