45人の生徒が受けた100点満点のテストの平均点が52点である。60点以上が合格の場合、合格者は最大で何人か。

1. 問題の内容

45人の生徒が受けた100点満点のテストの平均点が52点である。60点以上が合格の場合、合格者は最大で何人か。

2. 解き方の手順

まず、クラス全体の合計点を計算する。

$45 \times 52 = 2340$

次に、合格者の人数を最大にするためには、不合格者の点数をできるだけ低くする必要がある。不合格者の最低点は0点なので、不合格者が全員0点である場合を考える。

合格者の人数を$x$とする。このとき、不合格者の人数は$45-x$である。

合格者の人数を最大にするためには、合格者ができるだけ60点に近い点数を取る必要がある。ここでは、合格者が全員60点だったと仮定する。

不合格者の点数がすべて0点の場合、全体の合計点は合格者の点数の合計と等しくなる。したがって、

$60x = 2340$

$x = \frac{2340}{60} = 39$

これは合格者が全員60点を取った場合の人数である。

合格者が60点以上を取り、不合格者が0点から59点の範囲の点数を取る場合を考える。

合格者の人数を最大にするためには、不合格者の点数をできるだけ高くする必要がある。そこで、不合格者が全員59点を取った場合を考える。

このとき、合格者の人数を$x$、合格者の平均点を$y$とすると、

$xy + 59(45-x) = 2340$

$xy + 2655 - 59x = 2340$

$xy - 59x = -315$

$x(y - 59) = -315$

$x(59 - y) = 315$

ここで、$x$は整数なので、$59-y$も整数である必要がある。また、$y \geq 60$なので、$59 - y \leq -1$である。したがって、$x$と$59-y$は整数であり、$x$は315の約数でなければならない。

また、$y$は60以上の整数なので、$59-y$は負の整数である。

$y \geq 60$なので、$59 - y \leq -1$となる。

$x(59 - y) = 315$より、$x = \frac{315}{59-y}$となる。

$y = 60$のとき、$59 - y = -1$となり、$x = \frac{315}{-1} = -315$となり不適。

$59 - y$は315の負の約数であり、$x$は正の整数となる。

$59-y = -1$のとき，$y = 60$，$x = -315$となり不適。

不合格者をできるだけ多くするために、不合格者が59点を取る場合を考える。

$60x + 59(45 - x) \leq 2340$が成り立つ範囲で、$x$を最大にする。

$60x + 2655 - 59x \leq 2340$

$x \leq 2340 - 2655$

$x \leq -315$となり不適。

不合格者の平均点が59点である必要はなく、不合格者の点数をできるだけ59に近づける。

合格者の人数を$x$とすると、合格者の合計点は$2340 - 59(45 - x)$。

$x$は整数でなければならない。

このとき、合格者の平均点は$\frac{2340 - 59(45 - x)}{x} = \frac{2340 - 2655 + 59x}{x} = \frac{-315 + 59x}{x} = 59 - \frac{315}{x}$

これが60以上となるためには、$59 - \frac{315}{x} \geq 60$

$-\frac{315}{x} \geq 1$

$-315 \geq x$となり不適。

45人全員が52点であった場合、合格者を出すには、合格者の人数を$x$とすると、$x$人の点数を60点以上にする必要がある。

不合格者の点数をできるだけ低くすると、不合格者は0点になる。

合格者の合計点＋不合格者の合計点＝全体の合計点

$60x + 0(45-x) \leq 2340$

$60x \leq 2340$

$x \leq 39$

したがって、合格者の最大人数は39人である。

3. 最終的な答え

39人