次の定積分を計算してください。 $\int_{-2}^{1} (6x^2 - 4x) \, dx + \int_{1}^{2} (6x^2 - 4x) \, dx$

1. 問題の内容

次の定積分を計算してください。

$\int_{-2}^{1} (6x^2 - 4x) \, dx + \int_{1}^{2} (6x^2 - 4x) \, dx$

2. 解き方の手順

まず、不定積分を計算します。

$\int (6x^2 - 4x) \, dx = 6 \cdot \frac{x^3}{3} - 4 \cdot \frac{x^2}{2} + C = 2x^3 - 2x^2 + C$

次に、定積分の値を計算します。

$\int_{-2}^{1} (6x^2 - 4x) \, dx = [2x^3 - 2x^2]_{-2}^{1} = (2(1)^3 - 2(1)^2) - (2(-2)^3 - 2(-2)^2) = (2 - 2) - (2(-8) - 2(4)) = 0 - (-16 - 8) = 0 - (-24) = 24$

$\int_{1}^{2} (6x^2 - 4x) \, dx = [2x^3 - 2x^2]_{1}^{2} = (2(2)^3 - 2(2)^2) - (2(1)^3 - 2(1)^2) = (2(8) - 2(4)) - (2 - 2) = (16 - 8) - 0 = 8$

最後に、これらの値を足し合わせます。

$\int_{-2}^{1} (6x^2 - 4x) \, dx + \int_{1}^{2} (6x^2 - 4x) \, dx = 24 + 8 = 32$

3. 最終的な答え

32