次の定積分の値を求める問題です。 $\int_{-1}^{4} (7x^2 - 5x - 9) dx + \int_{-4}^{-1} (7x^2 - 5x - 9) dx$

1. 問題の内容

次の定積分の値を求める問題です。

$\int_{-1}^{4} (7x^2 - 5x - 9) dx + \int_{-4}^{-1} (7x^2 - 5x - 9) dx$

2. 解き方の手順

まず、定積分の性質を利用して積分範囲をまとめます。

$\int_{-1}^{4} (7x^2 - 5x - 9) dx + \int_{-4}^{-1} (7x^2 - 5x - 9) dx = \int_{-4}^{4} (7x^2 - 5x - 9) dx$

次に、積分を計算します。

$\int (7x^2 - 5x - 9) dx = \frac{7}{3}x^3 - \frac{5}{2}x^2 - 9x + C$

したがって、定積分は

$\int_{-4}^{4} (7x^2 - 5x - 9) dx = \left[ \frac{7}{3}x^3 - \frac{5}{2}x^2 - 9x \right]_{-4}^{4}$

$= \left( \frac{7}{3}(4)^3 - \frac{5}{2}(4)^2 - 9(4) \right) - \left( \frac{7}{3}(-4)^3 - \frac{5}{2}(-4)^2 - 9(-4) \right)$

$= \left( \frac{7}{3}(64) - \frac{5}{2}(16) - 36 \right) - \left( \frac{7}{3}(-64) - \frac{5}{2}(16) + 36 \right)$

$= \frac{448}{3} - 40 - 36 + \frac{448}{3} + 40 - 36$

$= \frac{896}{3} - 72 = \frac{896 - 216}{3} = \frac{680}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{680}{3}$