与えられた関数の極限 $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos 3x}{3x^2}$ を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた関数の極限 $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos 3x}{3x^2}$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$1 - \cos \theta = 2 \sin^2 \frac{\theta}{2}$ という三角関数の公式を利用します。この公式を使うと、

$$1 - \cos 3x = 2 \sin^2 \frac{3x}{2}$$

となります。したがって、

$$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos 3x}{3x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{2 \sin^2 \frac{3x}{2}}{3x^2}$$

次に、$\lim_{\theta \to 0} \frac{\sin \theta}{\theta} = 1$ を利用するために、式を変形します。

$$\lim_{x \to 0} \frac{2 \sin^2 \frac{3x}{2}}{3x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{2}{3} \cdot \frac{\sin^2 \frac{3x}{2}}{x^2}$$

$$= \lim_{x \to 0} \frac{2}{3} \cdot \frac{\sin \frac{3x}{2}}{x} \cdot \frac{\sin \frac{3x}{2}}{x}$$

ここで、$\frac{3x}{2}$で割って$\frac{3x}{2}$をかけると、

$$\lim_{x \to 0} \frac{2}{3} \cdot \frac{\sin \frac{3x}{2}}{\frac{3x}{2}} \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{\sin \frac{3x}{2}}{\frac{3x}{2}} \cdot \frac{3}{2}$$

$$= \frac{2}{3} \cdot \lim_{x \to 0} \left( \frac{\sin \frac{3x}{2}}{\frac{3x}{2}} \right)^2 \cdot \left( \frac{3}{2} \right)^2$$

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin \frac{3x}{2}}{\frac{3x}{2}} = 1$ なので、

$$= \frac{2}{3} \cdot 1^2 \cdot \frac{9}{4} = \frac{2}{3} \cdot \frac{9}{4} = \frac{18}{12} = \frac{3}{2}$$

3. 最終的な答え

$\frac{3}{2}$