与えられた曲線上の指定された $x$ 座標に対応する点における接線の方程式を求める問題です。具体的には、以下の4つの関数について、指定された $x$ の値における接線を求めます。 (1) $y = \log x$ ($x=1$) (2) $y = e^x$ ($x=2$) (3) $y = \sin x$ ($x=\pi$) (4) $y = 2x^2 + 3x + 1$ ($x=0$)

1. 問題の内容

与えられた曲線上の指定された $x$ 座標に対応する点における接線の方程式を求める問題です。具体的には、以下の4つの関数について、指定された $x$ の値における接線を求めます。

(1) $y = \log x$ ($x=1$)

(2) $y = e^x$ ($x=2$)

(3) $y = \sin x$ ($x=\pi$)

(4) $y = 2x^2 + 3x + 1$ ($x=0$)

2. 解き方の手順

接線の方程式は、一般に $y = f'(a)(x-a) + f(a)$ で表されます。ここで、$f(x)$ は与えられた関数、$a$ は接点の $x$ 座標、$f'(x)$ は $f(x)$ の導関数です。

各関数について、以下の手順で接線を求めます。

(1) 関数 $f(x)$ を微分して、$f'(x)$ を求めます。

(2) $x=a$ を $f'(x)$ に代入して、接線の傾き $f'(a)$ を求めます。

(3) $x=a$ を $f(x)$ に代入して、$f(a)$ を求めます。

(4) 接線の方程式 $y = f'(a)(x-a) + f(a)$ に $f'(a)$、$a$、$f(a)$ を代入し、整理します。

(1) $y = \log x$ ($x=1$)

(1) $f'(x) = \frac{1}{x}$

(2) $f'(1) = \frac{1}{1} = 1$

(3) $f(1) = \log 1 = 0$

(4) $y = 1(x-1) + 0$

$y = x - 1$

(2) $y = e^x$ ($x=2$)

(1) $f'(x) = e^x$

(2) $f'(2) = e^2$

(3) $f(2) = e^2$

(4) $y = e^2(x-2) + e^2$

$y = e^2x - 2e^2 + e^2$

$y = e^2x - e^2$

(3) $y = \sin x$ ($x=\pi$)

(1) $f'(x) = \cos x$

(2) $f'(\pi) = \cos \pi = -1$

(3) $f(\pi) = \sin \pi = 0$

(4) $y = -1(x-\pi) + 0$

$y = -x + \pi$

(4) $y = 2x^2 + 3x + 1$ ($x=0$)

(1) $f'(x) = 4x + 3$

(2) $f'(0) = 4(0) + 3 = 3$

(3) $f(0) = 2(0)^2 + 3(0) + 1 = 1$

(4) $y = 3(x-0) + 1$

$y = 3x + 1$

3. 最終的な答え

(1) $y = x - 1$

(2) $y = e^2x - e^2$

(3) $y = -x + \pi$

(4) $y = 3x + 1$