与えられた関数について、$x$ の値が指定された点における接線の方程式を求める問題です。さらに、その曲線と求めた接線を $xy$ 平面に図示する必要があります。ここでは接線の方程式を求めることに焦点を当てます。

1. 問題の内容

与えられた関数について、$x$ の値が指定された点における接線の方程式を求める問題です。さらに、その曲線と求めた接線を $xy$ 平面に図示する必要があります。ここでは接線の方程式を求めることに焦点を当てます。

2. 解き方の手順

(1) $y = \log x$ ($x=1$)

まず、導関数を求めます。

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x}$

$x=1$ を代入して、接線の傾きを求めます。

$\frac{dy}{dx}\Bigr|_{x=1} = \frac{1}{1} = 1$

$x=1$ のときの $y$ の値を求めます。

$y = \log 1 = 0$

接点の座標は $(1, 0)$ です。接線の傾きが $1$ で、点 $(1, 0)$ を通る直線の方程式は、

$y - 0 = 1(x - 1)$

$y = x - 1$

(2) $y = e^x$ ($x=2$)

まず、導関数を求めます。

$\frac{dy}{dx} = e^x$

$x=2$ を代入して、接線の傾きを求めます。

$\frac{dy}{dx}\Bigr|_{x=2} = e^2$

$x=2$ のときの $y$ の値を求めます。

$y = e^2$

接点の座標は $(2, e^2)$ です。接線の傾きが $e^2$ で、点 $(2, e^2)$ を通る直線の方程式は、

$y - e^2 = e^2(x - 2)$

$y = e^2x - 2e^2 + e^2$

$y = e^2x - e^2$

(3) $y = \sin x$ ($x=\pi$)

まず、導関数を求めます。

$\frac{dy}{dx} = \cos x$

$x=\pi$ を代入して、接線の傾きを求めます。

$\frac{dy}{dx}\Bigr|_{x=\pi} = \cos \pi = -1$

$x=\pi$ のときの $y$ の値を求めます。

$y = \sin \pi = 0$

接点の座標は $(\pi, 0)$ です。接線の傾きが $-1$ で、点 $(\pi, 0)$ を通る直線の方程式は、

$y - 0 = -1(x - \pi)$

$y = -x + \pi$

(4) $y = 2x^2 + 3x + 1$ ($x=0$)

まず、導関数を求めます。

$\frac{dy}{dx} = 4x + 3$

$x=0$ を代入して、接線の傾きを求めます。

$\frac{dy}{dx}\Bigr|_{x=0} = 4(0) + 3 = 3$

$x=0$ のときの $y$ の値を求めます。

$y = 2(0)^2 + 3(0) + 1 = 1$

接点の座標は $(0, 1)$ です。接線の傾きが $3$ で、点 $(0, 1)$ を通る直線の方程式は、

$y - 1 = 3(x - 0)$

$y = 3x + 1$

3. 最終的な答え

(1) $y = x - 1$

(2) $y = e^2x - e^2$

(3) $y = -x + \pi$

(4) $y = 3x + 1$