$\cos(\sin^{-1}x) = \sqrt{1 - x^2}$ を示す問題です。

1. 問題の内容

$\cos(\sin^{-1}x) = \sqrt{1 - x^2}$ を示す問題です。

2. 解き方の手順

まず、$y = \sin^{-1}x$ と置きます。

このとき、$x = \sin y$ となります。ここで、$y$ の範囲は $-\frac{\pi}{2} \leq y \leq \frac{\pi}{2}$ です。

$\cos^2 y + \sin^2 y = 1$ という三角関数の恒等式を利用します。

$\cos^2 y = 1 - \sin^2 y$

$\cos y = \pm \sqrt{1 - \sin^2 y}$

ここで、$y$ の範囲が $-\frac{\pi}{2} \leq y \leq \frac{\pi}{2}$ なので、$\cos y \geq 0$ となります。

したがって、$\cos y = \sqrt{1 - \sin^2 y}$ となります。

$x = \sin y$ より、$\sin^2 y = x^2$ です。

$\cos y = \sqrt{1 - x^2}$

$y = \sin^{-1}x$ より、$\cos(\sin^{-1}x) = \sqrt{1 - x^2}$ が得られます。

3. 最終的な答え

$\cos(\sin^{-1}x) = \sqrt{1 - x^2}$